压轴解析｜三角形与四边形（3）——九上期末质检复习

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

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(2017·南平)如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC.(1)当点A在线段DF的延长线上时，①求证：DA＝CE；②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；(2)当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数.

【图文解析】
（1）思路分析：若连接AE（也是旋转内容中的一条最常用辅助线），不难得到共顶点的两等边三角形的基本图形，如下图示：

由此不难得到我们熟悉的思路和结论：

△BAD≌△BEC，得到：DA＝CE（第①小题已经得到证明），∠BCE＝∠BDA＝0.5∠BDC＝30⁰，由此又得到∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝60⁰+30⁰＝90⁰，从而△DCE是直角三角形，所以∠DEC+∠EDC＝90⁰（第②小题也得到证明），如下图示：

实际上，进一步还能得到：所在的直线相交构成的锐角为60⁰（如有困难，之前本公众中的“（超前自学）七升八“系列中有类似文章，这里不再重复.
(2)当∠DEC＝45°时，由（1）∠DEC+∠EDC＝90⁰，可得到∠EDC＝45⁰，从而△DCE为等腰直角三角形. 因点A在直线DF上，所以要分三种情况：情况一：点A在DF的延长线上，如下图示，

结合刚才结论，不难得到：

可得到△BAC≌△EAC，得到∠BCA＝∠ECA＝0.5∠BCE＝0.5×30⁰＝15⁰，又因DF⊥BC，且△BCD是等边三角形，有DA垂直平分BC，进一步有AB＝AC，得到∠ABC＝∠BCA＝15⁰，因此∠BAC＝180⁰－15⁰×2＝150⁰.如下图示：

情况二：点A在FD的延长线上，如下图示，（只做图解，解法类似）

情况三：点A在线段DF上时，如下图示，由（1）知CE＝DA＜DF＜DC（因垂线段最短，故DF＜DC）.

综上所述，∠BAC＝150⁰或30⁰.
【反思】一般全等或相似的三角形通过旋转，可得另一对相似（旋转相似），若为等边三角形通过旋转可得一对全等（旋转全等）. (2017·宁德)如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF.
（1）求证：AE＝AF；（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由.

【图文解析】
（1）属于常规题，根据正方形的性质和已经条件BE＝DF，不难得到证明，只做图解，如下图示：

通过△ABE≌△ADF（SAS），不难得到AE＝AF.
【拓展】 若点E在BC或CB的延长线上，对应点F在CD上或CD的延长线或DC的延长线上，结论仍然成立，如下图示：

（2）由（1）证得△ABE≌△ADF ，得到：AE＝AF，且∠BAE＝∠DAF，从而∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90⁰.所以△EAF是等腰直角三角形.如下图示：

由等腰直角三角形EAF，容易想到等腰三角形的相关性质“三线合一”，结合图形可以大胆猜想：如果能证明M是EF的中点（即ME＝MF）即可得到AM⊥EF，且AM＝0.5EF.
进一步地思考，要想证明ME＝MF，显然可以通过两个三角形全等，直接在图中找与ME、MF有关的两全等三角形不可能。但ME在△BME中，MF在△DMF中，因此需将这一大一小的两三角形进行“改造”，于是就有了下而两种解法：法一：“大改小”——充分利用45⁰的角得到等腰直角三角形.如下图示：

法二：“小改大”——充分利用45⁰的角得到等腰直角三角形.如下图示：

法三：解析法，此法虽似麻烦（有点“暴力”），但对所有的正方形和矩形、菱形背景的试题均适用，建议也好好思考一下。如下图示：

设正方形的边长为1，BE＝DF＝t，则直线BD为y=x.再通过E（t，0）和F（1，1+t）求出直线EF的解析式（用t表示），然后联立直线BD和EF求出M点的坐标为（0.5（1+t）,0.5(1+t)）,最后根据平行线分线段成比例定理，可得到ME＝MF，如下图示：

【拓展】
若点E在BC或CB的延长线上，对应点F在CD上或CD的延长线或DC的延长线上，其他条件不变，结论仍然成立，如下图示：

图解如下：

　　或

(2017·泉州)如图，在矩形ABCD中，CD＝4，P是射线DA上的一个动点，连结PC，点D关于PC的对称点为E，连结DE交PC于点M，过点E作EF⊥DE交射线DA于点F.
（1）求证：PD＝PF；（2）若DP：PA＝2：1，当点E落在射线AB上时，求AE的长.

【图文解析】
（1）常规题.如下图示，由“点D关于PC的对称点为E”可得：EM＝DM，DE⊥PC，　同时DE⊥EF，可得∠PMD=∠E＝90⁰，得到PC∥EF（人教版中没有“垂直于同一直线的两直线平行”这个定理，需经过证明）.再通过“平行线分线段成比例定理”不难得到PD：PF＝DM：EM＝1：1，因此PD＝PF.

（2）首先要画出符合条件的图形（这是解压轴题最重要的一个环节，下面分析如何画出草图，若已经掌握好画图，可以跳过下面两段文字）
由于P点是射线DA上的一个动点，E点落在射线AB上，因此自然想到（实际上试题已经暗示），可能有多个答案. 画图时，要理解好DP：PA＝2：1中点P与DA的关系，显然应有点P在DA上（P是DA的三等分的左分点）或在DA的延长线上（此时与前一点P恰好关于AB对称），又由于CD＝4，因此为了能让E点落在射线AB上，必须调整矩形的边AD的长度，通过尝试，可得到：（如下图示，第二个图按比例缩小）

下面分两种情况分析：
（本题仅用特殊角和三角函数来求解析，目的是为了强化特殊角的认识，达到“秒杀和口算”的效果，当然用相似来求解类似）①当点P在边DA上时，由于点D关于PC对称的点为E，可连结（人教版是“连接”）PE，则有PE＝PD，又因PD＝PF（（1）中的结论），得到PE＝PF＝PD，如下图示：

同时，由于DP：PA＝2：1，可设PA＝a，则DP＝2a(=PE=PF，上图示)，进一步地，又可以得到：