抛物线与面积、周长相关（1）|代几综合【压轴解析汇总】

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抛物线与面积、周长相关（1）

1．抛物线与直线、特殊角

如图，抛物线y=ax²+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；

（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；

（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S_△ABC=2/3S_△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；

（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx+2，得到关于a、b的方程组，解之即可. 本小题答案为： 抛物线解析式为y=﹣1/2x²+3/2x+2.

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（2）由S_△ABC=2/3S_△ABD，可得到S_△ABC：S_△ABD=OC：|y_D|=2：3，由C（0，2）得OC=2，所以|y_D|=3.

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当y_D =3时，由﹣1/2x²+3/2x+2=3，

解得x=1或x=2，

此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；

当y_D =﹣3时，由﹣1/2x²+3/2x+2=﹣3，

解得x=﹣2（舍去）或x=5，

此时D点坐标为（5，﹣3）；

综上可知，存在满足条件的点D，分别为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）.

各种情形的图如下示.

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（3）要求线段BE的长，必须先求出E点坐标，求出直线BE的解析式，然后联立直线与抛物线的解析式，即可得到E点的坐标.

 首先，由A(－1，0)、B（4，0）、C（0，2），根据勾股定理的逆定理或相似，不难证得△ABC为直角三角形。如下图示：

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法一　由∠ACB＝90⁰和题意中的“旋转45⁰”容易联想到“等腰直角三角形”，因此可构造如下图示的等腰Rt△.

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此时△ABF可解。不难求出F点坐标，如下图示：

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分别在Rt△AOC和Rt△AFG中，由cosA=AG/AF=OA/AC可得：

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由B（4，0）和 F（2，6）不难得到直线BE为y=﹣3x+12.

 联立直线BE和抛物线解析式可得：

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 得到E（5，－3）.再由勾股定理，可得到BE的长为根号10.

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法二，利用对称，可得到等腰直角三角形，如下图示：

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法三，如下图示，转化为“一线三等角”就有更多种的解法了。

进一步地，

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此种解法较多，再举二种：

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法四，构造辅助圆，如下图示，

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法五：旋转法

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本题还有很多种解法，不一一列出，类似“有关45°的试题”可参考本公众号的“2017年福州市质检的第16题”（已有十几种解法）的文章（点击标题直接打开）.

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【反思】有关45°的角的相关试题均可以通过构造“一线三等角”、构造直角、构造矩形、构造辅助圆，可通过平移、对称、旋转、相似、建系等方法转化为“解三角形”来解决，均有很多种解法。

2．抛物线与直线，面积与最值相关
（2017·乐山）如图1，抛物线C₁：y=x²+ax与C₂：y=－x²+bx相交于点O、C，C₁与C₂分别交x轴于点B、A，且B为线段AO的中点．

（1）求a/b的值；

（2）若OA⊥AC，求△OAC的面积；

（3）抛物线C₂的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：

①点P为抛物线C₂对称轴上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； 

②如图2，点E在抛物线C₂上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）如下图示，

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不难得：A(0，b)和B(－a，0)，因B为OA的中点，所以b=－2a.得a/b=-1/2.

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（2）如下图示，

显然本题不论是已知还是结论均与点C有关，因此必须先求出C点坐标，因C点是两抛物线的交点，因此：

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（3）①常规题(课本原模型，不做详析)，因A点关于对称轴l的对称点是O，因此OC与对称轴的交点就是所求的点P，如下图示：

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    在(2)的条件下(a的值已求)，可得A、C点的坐标，并且不难得到直线BC的解析式，如下图示：

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②本题解法多种，详析常见一种，其他方法简要提示：

   如下图示：

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再求△OCE面积，可添加如下图示的辅助线(常法——“斜化直”).

    如下图示：

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【反思】此类试题无非将所求的四边形分割成能易求的图形面积。建议用第一种方法，不但快速且常用。

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3．抛物线与直线、相似、最值（2017·海南）抛物线y=ax²+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=0.6x+3 相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方.直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交与点M、N.①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由；
②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2.是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

图文解析：

(1)将A、B两点坐标代入即可.答案为：

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(2)如下图示，设M(t，0)，则：

则PN=-0.6t²+4.2t.

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①如下图示：

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(注：本题解法多种，下面仅提供一种最常见的解法)

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通过联立抛物线与直线CD的解析式，不难得到：C(0，3)，D(7，7.2).

    再将PN=-0.6t²+4.2t和C、D两点的横坐标代入，得到：

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所以当t=3.5时，△PCD的面积最大，且为1029/40.

②由于∠BMP=∠CQN=90°，所以当CQ:NQ=BM:PM或CQ:NQ=PM:BM时，两三角形相似。

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添加如下图如示的辅助线：

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4．抛物线与三角形、面积最值
（2017•自贡）抛物线y=4x²﹣2ax+b与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）（0＜x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCP的面积最大时，求点P的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立，请证明你的结论．

图文解析：

（1）设A(t，0)，则B(t+2，0)，

由tan∠ABC=4可得OC=4(t+2)，

得C(0，4(t+2))，如下图示：

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∴可设抛物线的解析式为： y=4（x﹣t）（x﹣t-2），把C(0，4(t+2))代入，……，得t=1，∴y=4（x﹣1）（x﹣3），即y=4x²﹣16x+12.

（2）如下图示，

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PH=(-4m+12)-(4m²-16m-12)=-4m²+12m.

S_△PBC=S_△PHC+S_△PHB

=0.5PH•CD+0.5PH•BE

=0.5PH(CD+BE)

=0.5PH•OB=1.5PH

=1.5(-4m²+12m)

=-6(m-1.5)²+13.5.

得：当m=1.5时，△PBC面积最大， 

此时P（1.5，﹣3）．(此题多种解法，这里提供的最简解法)

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（3）先观察动画演示(动画自动演示)

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       如下图示，

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假设存在整数a，b使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立，则必须同时：满足当x分别为1和2时，函数值均大于0时；且抛物线必须与x轴相交于两点，抛物线的对称轴x=a/4必须满足1< a/4<2，即须满足：

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又∵a是整数，∴a=5 或6或7，当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．

综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立．

反思：解题的关键是灵活运用二次函数的性质和不等式组解决问题，尤其要理解能使得“1＜x₁＜2和1＜x₂＜2同时成立”所必备的条件．

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