“数学之美”课程，玩转数学，从几何与艺术的碰撞开始
"数学，如果正确地看，
不但拥有真理，
而且也具有至高的美"。
—— 英国数学家罗素
在介绍猫猫果“数学之美”课程之前，我们先把视线拉到遥远的美国，来认识一位耶鲁大学数学系毕业生本·奥尔林。那是2009年，大学刚毕业，即将走上讲坛的奥尔林明白了一个道理，为什么数学不受欢迎。“大多数学校都把数学这门课教得太烂了。数学是一门瑰丽的、充满想象力和逻辑的艺术，而学校里的数学课把这门艺术课撕成一大碗碎纸屑”。
当年九月，奥尔林和学生进行了一场即兴讨论：我们为什么要学习几何。九年级的学生在讨论中提问：大人在理财的时候要用到菱形吗？成人会分两栏写几何证明吗？等等。
答案都是否定的。最终得出一个令人尴尬的结论：之所以要学习数学，就是为了在考大学和找工作的时候证明自己既聪明又勤奋。
这个结论让奥尔林大受打击，更让他担忧的是，学生们对此都很信服。
猫果小调查：你心中的数学是什么？
图 | 慧 （图片可点击放大）
无独有偶，今年九月猫猫果新学期开学，毛老师对五六年级的同学们也做了一番小调查：你们心中的数学是什么。有人说，数学是工具，也有人说数学是符号，更有孩子表达数学是发现。
猫猫果对小学数学的信念和价值观是让每一个孩子都有机会可以感受到数学的魅力和优美。毛老师说，数学的发明其实是数学家在想象的世界里去做抽象表达。她伸出手，在空中没有实物地比划着，“数学世界里直线是什么，是借助想象把无数的点连接起来的。但现实生活中你没法找到这样的直线。数学家是非常有想象力的，而且他们极为追求简洁美，但是这种思维方式在考试上是不体现的”。
毛老师以三角形为例，“我们都知道三条边围成的图形叫做三角形，这是小学数学阶段的初步认知，还会探究三角形的面积和其他图形的关系。但是三角形真正落到了孩子们的心中是什么？三角形最初是怎么被发现的？跟我们的生活有什么关系呢？”
朵儿作品
在 “数学之美“开篇课程中，猫果六年级学生朵儿创作了一件立体作品。它原来是一个四面体，用纸让自己看起来美丽，用胶布缠住让自己温暖，用铁丝让自己尖利。它觉得自己变了，可它永远是原来的自己。
朵儿说，每个人的身体里藏满了许多秘密，她创作的三角体也是。
这个三棱锥带来的冲击力冲破了数学领域的藩篱。也许以后世间万物的三角形，对朵儿来说，不再是一个抽象的形状，而是被她赋予意义的图形。
感受力、想象力、美，也就是通感，在数学书上都没有体现。毛老师认为从教材的编写来讲，是比较缺乏的。这些东西是不是都可以点亮？综合课不就是干这个的吗？于是毛老师酝酿出“数学之美”课程——让几何图形、抽象的数学概念与思维、创造力碰撞。
毛老师和本·奥尔林都在传递一个数学教学理念——比教会学生解题更重要的是数学的理解能力、思维力和学习数学的乐趣；比秀智商更重要的是，学会用数学思维看待这个世界的运行，发现数学的魅力。
“数学之美”是一个开始，之后毛老师将把德州扑克引入课堂，玩转数学。前者带领学生领略几何的艺术之美，后者带领学生学习概率，最终，希望带给学生数学真正的核心：思维，把数学的思维方式安放到生活中的每个角落，如果你愿意思考。
文/慧 立方
（慧：猫果数学教研组组长、六年级主班兼数学老师）
作为课程的设计教师，毛老师的初衷很简单，就是让孩子们运用几何图形、排列组合、草图模型等来表达，感受数学之美，拓展对数学的多元认识——数学不仅仅是刷题、谋职、赚钱，更重要的是发现与创造。
孩子们在美术课上的创造性已经有目共睹。以几何为载体，艺术和数学能碰撞出什么火花来？带着未知和信任，数学教师、美术教师和学生一起进入课程。教师引导的部分，被降到最低。只是一个跟随者，除了发挥必要的组织、引导与支持之外，在感受力层面，充分放手。“你给到之后，就全是惊喜”。
第一课时：几何形状与艺术
自卑的三角形和友善的圆形
第一节课先做了知识闭环和提取，把小学阶段学过的几何图形进行了总结和分类。五六年级，除了圆的面积和体积两大部分没学之外，小学阶段其他的图形知识都已学完。所以，开展这个课程是具备学科基础的。
学生分组对图形进行分类，分类标准由学生自发确定。有的按照几边形来分；有的按照学习深度来分，比如先学了什么，后学了什么；有的按照图形特征来分类，比如正方形属于长方形，但平行四边形不属于长方形。这种分类的抽象思维水平相对高一些，因为包含关系。
知识浮现在学生的脑海里之后，接下来就是运用和创造知识。借助艺术载体，在课堂上欣赏了蒙德里安、马列维奇、所罗门·索尔·勒维特等几位非常擅长使用几何图形创作的艺术家的作品。看后，同学们做了分享：
Yang：“我觉得一切都离不开几何图形。所罗门这幅作品运用的全是矩形”。
Duo：“我觉得很简单——引导学生欣赏数学中的极简美"。
大猫：“所罗门用的平面图形营造了空间感”。
接着，同学们运用几何图形进行自主艺术创作。
这是一个关于战争的故事。有一天，太阳和月亮吵架了，他们准备打一场仗。一旦战争开始，地球再不也分白天和黑夜了。直到有一天，太阳打累了，打不动了，月亮有点同情他，于是乎就停止了战斗。他们又恢复了往常的平静，而地球也正常了。
▲ 小野的作品。有一扇没有希望的门，什么有乐趣的东西都不能让它开心。有一天，一面有光的墙慢慢的靠近，这让没有希望的门有了一点光。
▲ 风的作品。这是一个从高维到低维的传送门，它由若干个正方体和三角体构成。你能在图中发现几处奇怪的地方？
▲ 老赵作品。有彩色的世界，不要心灰意冷。
毛老师点评：老赵的这幅作品让我觉得他的内心很温暖，虽然数学成绩一般，但是运用数学元素去表达的时候，没有任何障碍，而且表达得非常好，很简洁。
▲ 大猫作品。图中只有一个三角形，三角形感到自卑，给自己蒙上了一圈。黑色圆形和正方形没有孤立三角形，反而安慰三角形，帮助三角形。
这堂课，孩子们迟迟不愿意下课。他们的创作让我感受了一把“知识光谱”的美妙，好像那些数学知识和能力，被感受力与创造力点亮，汇成了一道能量渐变色带，把我们一同推向了光明。
第二课时：颜色与数学
2/3可以变出100个花样来玩儿
第二节课给到学生一个新的刺激：色彩理论，介绍了色彩心理学。不同的暖冷色，或者暖冷色的搭配，能够表达出不同的情感。上课期间，适逢日本政府向海洋排放核污染水，学生在作品中自然使用了黑色和蓝色。表达有朝气的内容，则会使用红粉绿一类的暖色调。
这堂课引入一个数学知识点：分数与比例。在数学里它们是个难点，因为足够抽象。在生活中，孩子们其实也不太经常使用分数去表达关系。所以这次课程我们尝试借由颜料的调和，每个孩子都可以在调出自己喜欢的配色的过程中，去感受不同的颜色比例。尝试用混合原色法来创建不同纯度的单色的变化、类似色、互补色，并用分数表示它们是如何混合而成的。最后，用自己调出来的配色，创作一幅有情感、有故事的作品。
在现行的数学教材中，对抽象思维的要求很高。一般理解2/3还不行，教材要求把2/3变成100个花样来考试，来检验学生是否理解，“没意思”。所以，毛老师坚持，”一定要让学生们感受到原来2/3是可以变成100个花样来玩儿的，而不是变着法儿来考试。从体验出发，最后闭环到知识”。
▲ 探索色彩与数学的关系，孩子们发现相似点都可以用无限来表达，还可以用数字符号给色彩分类。
▲ 瑄瑄的作品和配色图
▲ 大猫和朵儿的作品。这是一片被污染的海。人们向海里丢垃圾，倒废水。海变成了黑色，哭泣着。海里的生物也哭泣着，他们寻找着自己的家园，却不知道自己已经变成了黑色。海鸥在空中盘旋，却找不到一条可以吃下肚的鱼。
这幅画的颜色以不同深浅的蓝黑色为主。作者在作品上注明了具体色块对应的调色比例，有的色块用到1/30黑和29/30蓝，有的用到1/3黑、2/3蓝。这时抽象的分数概念就变得清晰且直观，又不乏趣味性，而数学的魅力就在于它可以用简简单单两三个数字关系表达森罗万象的现象。
第三课时：图形运动与艺术
用几何图形传达出精神世界
这节课围绕古代文明的装饰，探究了几何图形的运用以及对称美。
带着问题感受作品——
1.观察动植物的纹路和外观上的对称性，为什么动植物在外观上会呈现轴对称性？
2.你还在哪里见到过对称？
3.人类文明中的装饰图案运用了哪些几何图形？它们是如何组合的？神圣、权威、古老、华丽……怎样才能利用装饰图案传达精神世界的崇高与智慧？
▲ 南瓜 研究的是古埃及底比斯陵墓绳索上的装饰物图案，他感觉这个图案很像“血轮眼”，于是他利用圆形、长方形、椭圆形做了一个新的创作。
毛老师点评：南瓜运用了若干个圆形搭配创造了这幅图，高年级需要学习用尺规作图，南瓜远远超过了课标的要求，不仅如此，创造的图形很有规律且简洁。
南瓜是一个对世界充满好奇的小孩。猫猫果是他经历的第七所学校，也是他的理想型学校。
▲ 大山 研究的是豪尔萨巴德古城的盾牌装饰物，他用圆、矩形、三角形做了一个非常对称的改编。
▲ 小野 研究的是禹舜时期的扇子，当时的扇子用于遮蔽同时也是权贵的象征。她利用圆形、水滴形、长方形、半圆形、三角形等不规则图形完成了这幅改编作品，希望营造出权威、高贵、盛大、华丽的感觉。
▲ 大猫 研究的是鲁昂《埃塞尔加祝福集》边框的一角，她借助圆形、矩形、以及各种不规则图形的组合，想要表达精美且典雅的边框一角。
▲ 灰灰 的这幅画创造的是一个古希腊的王宫，整体比较简洁，主要的元素是矩形、半圆形和各种线条组合成的羽毛。羽毛画得很精致，房子画得很简单。因为她选择的羽毛图案是古希腊的，所以房屋也用了古希腊的风格。
第四五六课时：数学画展策展
化零为整，打包输出
有了前三节课的经验，学习了如何运用几何图形、色彩比例、对称图形的搭配来创作艺术作品。接下来要做一个整体打包，具体的做法是收集三幅自己的作品，两幅喜欢的艺术作品（形式不限、绘画、雕塑、建筑、音乐、诗歌等），解释其中运用到的数学概念，把这五件作品组成一个小型展览，进行策展。
主要要求
1
确定展览主题，设计海报。
2
课上创作的三幅作品＋两幅自己喜欢的艺术作品（图片配数学概念解读和其他解读）
3
选择一个你喜欢的建筑作品，从中获取灵感，了解他们的结构特点，绘制你想要创造的雕塑建筑草图（要求用尺子并且比例合适），用各种材料、色彩来创造出你的数学雕塑建筑。草图和建筑物的照片要拍照放入你的画廊PPT里。提高学生对数学的理解、兴趣，拓宽视野。
孩子们设计的展览海报
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▲ 风 在分享他设计的114号钻井机房及图纸
在几何与艺术碰撞的过程中，我们不仅更了解了几何图形的特点，更感受到了数学的魅力。孩子们在创作的过程中每一次灵光闪现，都如同艺术家的调色板上的一抹亮丽颜色，点缀出这段学习旅程的独特之美。
数学，是一片宽广的海洋，是宇宙的语言；艺术，是一颗闪耀的星辰，是内心的语言。在这里，你们学会了将它们碰撞，创造出属于自己的独特世界。那个世界里，没有对错，只有无限的可能。
祝福你们，慧。
下期预告：
《数学不是非对即错，
猫猫果数学老师告诉你，
做错题也很棒！》，
文章明日发布。
图 | 慧
文 | 慧 立方
编辑 | 立方
排版 | 立方
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