数学不是非对即错，猫果数学老师告诉你，做错题也很棒
▲ 点击公号名，把“猫猫果儿的平行世界”设为星标
做错题怎么办？
怎么看待错误？
猫果老师称之为“宝藏”，
从错误中也可以获得智慧，
这和“你心中的数学究竟是什么”有关，
本文浅浅地谈了谈数学的本质和意义。
头图：数学课上结合生活实际场景的推演 BY慧
本文是《“数学之美”课程》稿件的配文。在编辑前文的时候，我和毛老师约了一场聊天，本意是聊课程，后来发现无论怎样呈现我们数学课的做法，以及阐释我们主张的数学学习方法，都需要回到源头“我们心中的数学究竟是什么”，正本清源，才能开宗明义，欣然赞美学习过程中的错误、弯路等等。
本文的对谈对象毛老师是猫猫果数学教研组组长，教龄12年。在猫猫果的数学理念中，比教会学生解题更重要的是数学的理解能力、思维力和学习数学的乐趣；比秀智商更重要的是，学会用数学思维看待这个世界，解释这个世界，发现这个世界。
“数学之美”课程从“几何与艺术的碰撞”开始，之后毛老师将把德州扑克引入课堂，在体验中领略数学思维：抽象、推理、模型思想。
Q&A
Q=立方 A=毛老师 | 2018-2023 毛老师，教龄12年，2018年加入猫猫果儿。原北京芳草地国际学校骨干数学教师，区级优秀青年教师，获高级教师职称。个人公众号“完整之地”。 |
Q
在“数学之美”课程中，艺术是个载体，用更具创造力的方式带着孩子们理解更广阔的几何，不仅仅是面积周长。
A：对，数学本身非常好玩，但是，它有一点门槛。它不是人类天生就具有的能力，抽象推理建模思想都是训练出来的。越练习，越灵活。
如果没有抽象训练，越到高年级，学习门槛就越高。当有一定门槛的时候，就要去平衡知识与能力和兴趣。只有先带孩子们进入门槛，才能在数学世界里遨游。进不了门槛，就体验不到其中的乐趣。
左图：带2015级感受一平方米有多大 BY 慧
右图：给2016级孩子们上课 BY肖阳
(图片可点击放大）
Q
你说数学是个好玩的事，但像我这样没有感受到的人，就特别需要你来告诉我们，数学到底好玩在哪？
A：我自己的体感是生活中的每时每刻都可以感受到它的存在。比如我们要出去旅行，要去看地图，选酒店，设计最优的出行方案。双十一购物狂欢节，怎样买才真的可以为自己省钱。这样的例子不胜枚举。
在小学阶段就是要经历真实有趣的实际问题，他们才会感受到数学的魅力。比如三年级学习长正方形周长时，学校会邀请孩子们帮校园铺一个足球场。四年级研学的时候所有的住宿、交通都交给孩子们来设计，对比不同方案哪个更优。下周我将要带他们玩德州扑克。为什么要带他们玩德扑？首先我发现到了高年级以后，他们比较喜欢群体益智类纸牌游戏，一方面可以帮助他们拉近社交关系。另一方面，略带竞争、益智类的游戏也会让他们感觉“肾上腺素飙升”。
德州扑克的仪式感拉满以后，孩子们会迅速感受到“纸牌游戏”的魅力。整个游戏中你不仅要计算自己牌面的大小情况，还是去猜测对手牌面大小的可能性。根据场上各种情况考虑所有可能性的发生，从而做出一些决策。从最开始的历史来讲，德扑为什么会被发明出来，怎么被推到现在这个高度的？也挺有意思。
Q
生活中的概率问题还有很多呀。
A：抽奖也是一种。比如猫猫果运动会产生了100个第一名，大家抽签选奖品，是不是先抽的人比后抽的人更容易抽到1号呢？
Q
未必啊。
A：对呀，所以我们要用概率学的方式来看可能性，把可能性都列出来，当然100个人这个问题对于学生来讲复杂了些，那化繁为简，假设只有三个第一名，那这样你就会发现这三个人抽到1号的概率都是三分之一。这种化繁为简、假设、枚举的思维方式一旦进入到你的认知中，在任何时刻都可以使用它。
但是如果你把可能性完全变成了解题工具，我会觉得挺没意思的，因为它禁锢了你。我们要在数学中学习各种思维方式，只要他拥有这种思维能力，用得频繁或不频繁不重要，路径越多元越好。这就是我希望给到孩子们的关于数学的体验，从长远来讲，它是可以支持人走向更深入的哲学探索的。
但是现在我不会这么跟学生聊。现在就是帮孩子们把小石头堆起来，以后他们自己会用这些小石头来摆出自己的思考方阵。大部分时候我都会引导学生去表达自己的思考过程，小石子摆成什么样不是最重要的，怎么摆的，怎样想到这样摆的才重要。
Q
通过你的这番话，数学有点意思了。
A：这些是我希望带给孩子们的，而且我觉得“带给了”。从平时的观察，他们说话，他们的选择，等等，我觉得是有带给他们这样的一个思维方式或者看待世界的方式。我觉得就够了。
2018级讨论数学是一种什么类型的语言 BY慧
Q
在猫猫果的教学体系中，数学是一种语言，这个怎么理解？
A：数学是被人类发明出的一种语言，它原先是不存在的，是为了跟全世界人民沟通的一种符号语言。比如2+3=5，外国人也懂，中国人也懂。
2018级在五年级的时候讨论过，在见过现有数学的各个面相之后，你们觉得数学是什么类型的语言？
当时孩子们就总结出来了，第一种是图示语言，可以画图来表达一件事。第二是符号语言，比如2➕3🟰5可以表达一类事情。第三是模型语言，把若干个具体现象，抽象出一个模型来，比如a+b=c，那么c-b=a，加减关系就表示出来了。
Q
这是来自于孩子们自己对概念的扩充？
A：肯定是有我的引导。平时拿到一道题，或者讲一件事，我都会说：还可以怎么表达？表达有各种各种的方式，有文字的，画图的，语言的，动手操作的，最终统到语言上，我们觉得它是一个表达方式，或者是跟外界沟通的方式。
Q
数学是一种语言，语文也是语言，但数学是跨国界的，没有文化的壁垒。
A：没有歧义的，一拿出来，不用说话，彼此都懂。语文可能要讨论这个词那个词的意思。目前我们的孩子们没有研究到这儿，现在只是一个X体验。比如我们学方程，会经历最早的埃及人是怎么发明出X的，怎么想出来的。我们会经历一遍源头的故事。经历多了以后就会发现，数学家发明这些东西，就是为了推动世界和社会的进步，所以没有壁垒，不那么个性，他追求的是共性。做数学的人，在某种程度上，我感觉他们很伟大。
五六年级“分数的意义和性质”自学进度单 BY慧
Q
咱们的数学教学好像不是按照教纲的顺序，感觉是一个板块一个板块来的。
A：对。
Q
这是数学综合课的思路吗？
A：其他猫猫果老师可能也是这样，因为数学知识点在教材里被拆得太碎了，今天学完这个，明天蹦到那个，给孩子的感觉非常不连贯。传统学校的课时太多，我们不多，就得整合知识点。我们希望是整个板块、整个板块的，有连贯性。这样对孩子的学习比较好。
Q
三角形、正方形、梯形这些几何图形，在数学老师眼中是什么样的？在我眼里，它可能就是一个普通的形状。
A：在数学人的眼中，首先它就是长宽高，是一个立体的。然后我会看它有多少条横，多少条竖，怎么搭配。还会看它的空间感，可以容纳多少人，360度地去看它，要转起来看。这个（指聊天旁边的一个球网）很有设计感，每一个设计都有功能的考量，所以专门有个学科，叫实用数学。等等。
Q
孩子们在“数学之美”的表达当中，跳脱了形状的禁锢。
A：对！所以我觉得特别好，可能体制内的孩子不一定行，因为被精准化的东西，被规矩得太多了。
有一个孩子的数学逻辑很好，成绩很优秀。但他画不出来， 一直说自己不擅长。我说没有关系，没有标准，你想到什么图形，就可以用什么图形去搭配，错乱的凌乱的图形都是ok的。
到第三节课研究古文明装饰画的时候，他也是一直说：我不行，我不会。但是从第一幅到第三幅，能明显感觉到他的变化，虽然他仍然觉得自己达不到100分，会用分数来要求自己，但是他能敢于去创造了，这扇门已经打开了。
Q
会或者不会，对或者错，数学不就是这样吗？
A：从错误中也可以获得智慧，我通常会大肆称赞这些错误，我管它们叫错误宝藏。
曾经咱们的老师给的都是二元对立的非对即错的观念。我觉得数学绝对不是对错这么简单，虽然从某种意义上来说数学讲究精准，那是因为历史在前进，我们的精准体现了我们思维的进步。而对于小学生来讲，数学重在过程，过程比结果重要得多。
Q
对于需要唯一性的孩子，是不是难以接收？
A：我们经常讲猫果老师要能够站在学科的角度看见一个人的成长，学习学科知识和能力也是为了支持一个人更好的成长。如果一个同学呈现出了对知识的唯一确定性的过度关注，那问题肯定不仅仅出现在对学科知识的理解，也许渗透出了一些家庭关系，譬如家庭试错成本过高，家人对不确定性的焦虑都会影响孩子。所以错误是个宝藏，对这个孩子而言更具教育意义，可以帮ta拓宽认知，学习接受更多可能性和自己。
END
文 | 立方
图 | 慧(除署名外）
编辑 | 立方
排版 | 立方
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