Beat 阻挫磁性

Original 熊梓健、姚道新量子材料QuantumMaterials 2022-07-04

手征之梦

阻挫无磁亦有磁

伊辛对称引遐思

手征初许春秋雨

光子微风便可知

0. 编按

由迈克尔·杰克逊作词、作曲并唱遍全球的名曲《Beat It》表达的是因为无奈而躲开，但最棒的意思还是“拿下”和“搞定”。我们观测物理世界、理解其基本性质，就是 beat it 而获得知识。最直观的知识来自于测量它的大小、形状、轻重、导电 / 绝缘、透明与否，等等。这些性质都是我们在实空间可以触摸和感受到的，借助诸如波动成像 (如眼睛) 的手段即可实现。也因此，这些性质为我们所熟悉、并形成我们进行物理思维和应用的最直观模式。

不过，物理人似乎“并不喜欢”用这种直观、直接的方式去观测世界，可能是因为这样做太过简单和肤浅 ^_^。换一些更深刻的感受和观测方式来展示周围的物理世界，会得到有关观测对象更加完备的知识。所以，物理人更擅长在倒易空间 (reciprocal space)、或者动量空间、或者波矢空间中讨论物理。例如，凝聚态物理，总是一上来就讨论电子结构、能带几何、声子谱、准粒子及其激发等等概念。这些都是在波矢空间定义的，是对实空间进行“颠倒黑白”后获得的知识。图 1 所示就是一位整日沉迷于分析衍射空间中各种数据之材料学者做白日梦时记录下来的世界。这个世界与现实观测到的事物是如此不同，也因此有了很多观测新事物的机会和可能。

说得更“哲学”意味一点，局域倒易空间、或波矢空间，对应的实空间世界实际上是无穷大范围内特定尺度世界的叠加。也就是说，我们用任何实空间的成像手段看到的世界都是有限的、局部的。而有限的、局部的波矢空间，比如布里渊区，那便是无限大的实空间世界！这种“哲学”意味的怪论也许可以解释为什么我们说物理学研究的是整体和全局！

图 1. 倒易空间的日夜颠倒 (Awake in reciprocal space)！

https://fineartamerica.com/featured/awake-in-reciprocal-space-regina-valluzzi.html

1. 倒易空间

倒易空间的概念，源于物理世界的观测总是要进入到那看不见、摸不着的波矢空间去讨论，否则就不够格叫物理。多少年来，这一认识也促使我们不得不强迫自己去言必谈波矢空间的图像，以显得自己也是个物理人。

不过，这种言必谈波矢空间的现象也是有其必然根源的。至少有两点：

一方面，我们认识固体世界固然可以用几何波动成像的方法，但波动更本源的特征是干涉与衍射。因此，物理主要的技术手段便是基于衍射的谱学技术，即便从最早的 X 射线衍射开始就是如此。当前的凝聚态物理研究，那些光电子能谱技术越来越高级、越来越多功能，都是在波矢空间演绎物理世界。

另一方面，物理人都依赖量子力学来认识微观世界。量子力学的那个矩阵力学版本实在是太过深奥，还是感性和任性的薛定谔们体恤我们，给我们以波动物理并告诉我们世间万物皆是波。物质波的传播、干涉和衍射决定物质的基本性质。既然如此，在波矢空间演绎就是很自然的物理。这种很自然的物理之表现形式之一便是图 2 所示的物理衍射进程和数学上的傅里叶变换关系。

图 2. 物质在实空间和倒易空间中的对应关系。这是物理世界最重要的对应关系！

https://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_07-en.html

因为如此，凝聚态物理都是在倒易和波矢空间中挥洒。而因为波矢空间是实空间的颠倒，因此物理人数百年来都是在“颠倒黑白“中生活着，用颠倒空间的理论和道理来说明现实空间中的潮起潮落与风花雪月。

也因为如此，物理人多少年来致力于发展各种波谱技术，以定量和准确地描绘周围的物理世界，从而构成了若干重要学科方向，包括凝聚态物理学的电子谱学和声子谱学技术，更别提那些光电子能谱如 ARPES、X 射线光电子能谱、中子散射能谱等。

这里，笔者所呈现给读者诸君的，便是这样一项技术。我们能清晰看到，作为凝聚态物理人，我们如何将波矢空间的谱学技术化用到解构复杂的量子材料真实物理世界。

图 3. RIXS 的基本工作原理。The incoming X-rays excite an electron from a deep-lying core level into the empty valence. The empty core state is subsequently filled by an electron from the occupied states under the emission of an X-ray.

https://en.wikipedia.org/wiki/Resonant_inelastic_X-ray_scattering

2. RIXS

物理人对量子材料电子结构和量子态的理解，很大程度上离不开对基于波动的弹性和非弹性衍射/散射谱的正确解读。而这种散射过程恰是量子材料中众多光电子激发过程的叠加。要由此得到材料内部那些本征的物理，这一解读在量子材料中就变得特别重要。这种解读，又很大程度上归结为对其中存在的各种量子序所展示的散射谱特征进行准确计算和预测。

这里，便有了几个关键词：量子序、散射谱、准确/定量。

受益于新一代同步辐射光源的发展，诞生了很多基于同步辐射的散射光谱技术。其中，共振非弹性 X 光散射 (resonant inelastic X-ray scattering, RIXS) 在近年来取得巨大进步，推动了凝聚态物理研究的深化与发展。RIXS 的简单原理示意图如图 3 所示，在探测凝聚态磁激发方面有独特的优点，例如其动量转移范围可以跨越几个布里渊区，能够探测多体关联函数 (中子散射主要是两体关联函数)，能量比中子或可见光更高，X 射线光子具有偏振，可以区分不同对称性的元激发，样品需求少等。对于 RIXS 技术的细节，接下来会触及到更详细一些内容。

目前，RIXS 在国内的研究方兴未艾。我国目前有高性能的第三代同步辐射光源 —— 上海光源，同时在建造更先进的同步辐射光源 (北京、合肥、深圳等)，因此开展 RIXS 及其应用的研究将会有很大的普及优势，毕竟物理学还是离不开实验。

不过，X 射线本身不携带自旋相关的信息，说这一技术能探测“磁激发”其实是一件很 trick 的事情。谈及磁性的散射模式探测，大家当然首推中子散射，因为中子本身携带自旋。既然同步辐射和中子散射都是高大上的家伙，有中子在，何必一定要瑜亮 RIXS 呢？除此之外，基于 X 射线衍射的磁性探测技术还包括磁圆散射技术，也有类似疑问存在。

要回答此类看起来很不靠谱的问题，说起来复杂，其实也简单，那就是阻挫磁性探测的需要。事实上，将 RIXS 探测与阻挫磁性结合起来，是试图发现远远超越磁性本身的新物理的需要，因此发展这一技术去进行磁性探测便成为重要的科学前沿。

图 4. 一个三角形上的反铁磁 XY 自旋模型的基态。(a) 正的手征性，定义为绕着三角形顺时针路径的格点，其自旋也顺时针转动 120 度。(b) 负的手征性，定义为绕着三角形顺时针路径的格点，其自旋却逆时针转动 120 度。

3. 阻挫磁性

所谓阻挫磁性，自从提出以来就一直受到理论和实验物理很大关注。阻挫自旋模型的一个经典例子，即是三角晶格上的反铁磁 Ising 模型。众所周知，既然是 Ising 自旋，每个自旋只能有上下两个方向，满足所谓的 Z₂ 对称性。很容易知道，每个三角形能量最低的自旋排列组合数目有若干个，此为多态简并。拓展到一个大的三角晶格点阵，这样的基态数目就变得更大，也就是说有很大 (huge) 简并度。这是几何阻挫经常导致的一个结果：在理想情况下无法得到一个纯的单一基态，也就是没有有序的基态。

对物理学而言，这样的结构不好玩，虽然菲利普·安德森说“此处无序胜有序”！

如果稍微将 Ising 自旋这一条件放宽，改成可以平面内任意取向的 XY 自旋，则基态的简并度相比 Ising 模型大大降低。例如，XY 自旋可以形成非共线排列 (如图4所示)，至少存在图 4(a) 和 4(b) 这样两种简单的非共线排列。将这样的构型拓展到整个三角晶格，当然就得到很大的基态简并度，但此时就开始有一些新物理。

其中一个新物理，便是我们可以定义一个矢量手征度：κ_ij = S_i × S_j，来区分 XY 自旋是顺时针还是逆时针排列。对这种排列顺序，可以定义一种“序”，称之为“手征 (chirality)”。通常，正的手征性，定义为绕着三角形顺时针路径的格点前进时，自旋也顺时针转动 (这里就是转动 120 度，即图 4(a))。图 4(b) 所示即为负的手征性。从这个意义上，这种有规律的手征性排列就是一种序，与完全无序的态有很大不同。这种手征性也只有两种情况：正和负的！

凝聚态物理中可以找到很多类似的“手征性”例子，使得“chirality”这种“序”并不是可有可无的。举一个例子：这种自旋的非共线排列，可以导致逆 Dzyaloshinskii – Moriya 机制 [1 - 3]，产生横向的电偶极矩，是第 II 类多铁性物理中磁致铁电性的一个重要起源。因此，这种手征性的概念，对我们认识新物理变得至关重要。

更值得注意的是，触及到“手征性”，我们就有可能超越“自旋”或者磁性这个侠义概念本身，可以将其拓展到任何矢量点阵结构，或者称为几何阻挫体系。“手征性”是比“自旋”更加广泛的物理概念。例如，Kawamura 认为类似几何阻挫系统的相变属于一种新的手征普适类 [4]，与经典的 O(n) 普适类不同。数值计算和实验中也有一些证据支持这个理论 [5]。这个理论还有一个有趣的预言是：自旋 - 手征脱耦合 (spin - chirality decoupling)，即两种序可以在不同的温度形成。

其实这种脱耦合也不难理解：如果把上面介绍的手征度“归一化”，容易看出这个手征度只能朝着“纸面”向外或者向里，或者“正”和“负”。这实际上与 Ising 自旋方向只能向上或者向下类似之处，可称之为 Z₂自由度，类似 Ising 自旋。此时，再加上原来自旋经典的 O(n) 转动自由度，我们就可大致认为这种阻挫系统的序参量并不是单一的，而是呈现一种复合的序参量，其对称性可以写成 O(n)× Z₂。

既然序参量对称性是复合的，我们就可以各自分析。不失一般性，以二维空间为例：众所周知，二维 Ising 模型具有有限温度的相变，很早就为 Onsager 预言。而对具有 O(n) 转动自由度的二维经典自旋点阵，那著名的 Mermin - Wagner 定理告诉我们不存在有限温度的相变。虽然现实的点阵可能存在各种不理想或者不均匀，但这两类对称性决定了其各自自由度的相变温度不同，或者说这个复合序参量中的 Z₂部分会先相变，O(n) 部分在更低温度相变。此所谓自旋 - 手征脱耦合。

说得更极端一些，就是这一类体系中，自旋不过是手征性的一个载体单元而已。手征性本身完全是独立的概念和物理。

事实上，如果我们去看 K – T 相变中的拓扑不变性物理，说起来还真是如此！拓扑属性就不是自旋序所专有的，因此手征性可以是全新的物理。反过来说，我们研究阻挫自旋体系的相变、对称性等物理，并不一定只是盯住自旋本身，更多是应该以其为模板去研究手征序本身。图 5 所示即我们周围世界所看到的各种几何阻挫结构的几个例子。恰好，手征性与自旋序的脱耦，提供了我们认识手征性本身物理的可能性。所谓妙哉，不过如此吧！

图 5. 刻画几何阻挫：自然界中到处都是几何阻挫的结构，远远不只限于自旋体系。

https://www.x-mol.com/paper/450782

https://physicstoday.scitation.org/doi/10.1063/1.2186278

https://www.mdpi.com/2073-4352/8/3/115/htm

4. 刻画阻挫

我们已经将手征性作为更一般和更新的物理搬上台面，宣示了研究阻挫磁性的意义，披露了阻挫磁性的基本特点，并声称说 RIXS 就是为了刻画这种阻挫结构而发展的。现在，笔者就尝试对此进行刻划画，看看能否用不携带自旋的 X 光谱写去探测阻挫磁性。

刻画几何阻挫结构，还是以讨论自旋阻挫最为方便。即刻画手征度 κ_ij = S_i × S_j，首先要明确这是非共线排列的自旋。这一序参量 (κ_ij) 是个二自旋算符。众所周知，散射技术探测的是序参量的空间关联函数，因此要刻画 κ_ij = S_i × S_j，就是要探测 κ_ij的关联函数。二自旋算符的两两关联，就是一个四自旋物理量。传统的实验，如中子散射，要测量这样的物理量并不容易。

怎么办呢？这就回归到本文主推的共振非弹性 X 光散射 RIXS [6]。很快我们就会明白，这一类技术好像很多都是为研究量子材料而发展的，对于电子跃迁、磁激发、轨道激发、晶格振动等过程有很高的探测敏感性。

RIXS 是典型的“光子进 - 光子出”的过程。光子入射到固体中，损失一部分能量 (非弹性) 或者基本不损失能量 (弹性)，再从固体中散射出来新的光子来。共振指的是把入射光子的能量调到材料中待研究原子的吸收边处，引起电子的共振跃迁。常见的吸收边有 K 边、L 边、M 边。它们对应激发主量子数 n = 1、2、3 壳层的电子。实验上，即通过测量入射、散射光子的能量、动量、偏振状态，来推算材料中对应的元激发过程。

看君如果熟悉光散射技术，可能会觉得这个过程与传统的拉曼散射图像有类似之处，虽然那里光吸收的更多是声子。与拉曼散射相比，X 光具有较大的能量和动量。因此，RIXS 这项技术可以测量布里渊区更大的面积。与中子散射相比，RIXS 对样品体积的要求没那么高，而且与中子散射互补。所谓互补，是说很多固体因为含有强烈中子吸收的原子，中子衍射测量会无法进行，故而必须有替代测量技术。在研究对中子强烈吸收的铱氧化物时，RIXS 就可以大展拳脚。

从常规散射角度看，RIXS 技术的可靠性和优越性已经得到广泛验证。例如，在测量高温超导材料铜氧化物 La₂CuO₄的自旋波激发时，RIXS 的结果与中子散射的实验结果非常一致，如图 6 所示。

图 6. 中子散射实验和 RIXS 测量的铜氧化物 La₂CuO₄自旋波激发 [7]。

如前所言，光子并不携带磁矩，不会直接与材料中的自旋耦合。因此，与中子散射不同，RIXS 测量磁激发的机制是利用自旋 - 轨道耦合 (spin - orbit coupling, SOC)。如此一来，X 光光子与电子自旋之间的耦合方式不但属于高阶耦合，而且比较复杂。为了更好阐述这一问题，与其泛泛讨论一般性机制，不如从一个例子出发更为直观。

最好的例子是铜氧化物L 边 RIXS 的过程。

这一过程涉及铜的2p - 3d 电子。2p 电子的自旋 - 轨道耦合 SOC 较强，可看作 J = 3 / 2 和 J = 1 / 2 两个态。而 3d 电子基本可以忽略其自旋 - 轨道耦合 SOC。对铜氧化物 La₂CuO₄，Cu 的 3d 轨道有唯一一个空轨道，是 d_x²-_y²轨道，其自旋处于 xy 平面上。

图 7. 一些矩阵元的表达式。

现在考虑 RIXS 过程中光子是怎么翻转一个自旋的：首先，2p 电子的 J = 3 / 2 轨道中有一个电子吸收光子，跃迁到 3d 轨道的空位上。经过一定时间后，一个 3d 电子返回到 2p 电子的 J = 3 / 2 空位上并发射出一个光子。这就是光子的吸收与发射过程。

不过，值得注意的是，返回的 3d 电子并不一定和原来的电子状态一样，可以允许有自旋翻转甚至轨道激发。在量子力学课程中我们学习过偶极跃迁，具体说来，偶极跃迁的矩阵元呈现图 7(a) 的样子。对于这个例子，2p 到 3d 的跃迁矩阵元呈现图 7(b) 的样式，而从 3d 回来的跃迁矩阵元则是图 7(c) 所示。整个过程结束后，3d 的空穴自旋被翻转了。

很显然，只要能够解出这一自旋翻转甚至轨道激发的细节，光子进入和返回进程就携带了电子自旋的信号，此即 RIXS 解构自旋的大致原理。

本质上，这些过程是由于2p 电子的自旋 - 轨道耦合 SOC 导致。作进一步考虑，实际上在 2p 电子吸收一个光子、跃迁到 3d 轨道后，2p 产生的空穴会对 3d 电子散射。这一过程可导致多自旋激发。事实上，早期实验探索阶段，就是先在 L 边的 RIXS 信号中看到双自旋激发的印记 [8] 后，才意识到 RIXS 还能测量单自旋激发 [7, 9]。

有意思的是，这些印记对应的正是四自旋关联。也就是说，四自旋关联的物理在这个实验中也能看到。这一事实启发我们，利用这种四自旋关联信号，也许可以测量出自旋的手征关联！

如是，这可是一个有价值的结果。

图 8. 手征关联的 RIXS 物理表达式。

5. 手征关联

现在，可以来构建这种手征关联的探测理论了！

如上所述，RIXS 是一个二级过程，即吸收光子 - 发射光子。利用量子力学，可以写出散射截面，如图 8(a) 所示。这其实就是我们熟悉的费米黄金定则的形式，振幅为 A_fi的表达式写在图 8(b) 中，其中 D_out/D_in 是偶极跃迁算符。这里，因为是二级过程，我们需要费米黄金定则扩展到二阶的形式。如果只考虑一阶近似，振幅表达式不存在分母，也就不存在共振模式。二阶模式的介入使得共振称为可能。当我们把能量调到共振时，二阶贡献称为主导。

这一公式即有名的 Kramers – Heisenberg 公式，其物理“图像”也非常清晰：电子先吸收光子，通过 D_in偶极跃迁。此时系统处于激发态，在薛定谔方程下演化一段时间 (参数 Γ 反比于这一时间)。这一演化写成了等价的格林函数形式 (ω_in – H – i Γ )^-1，然后电子回到原来的空位，并且通过 D_out发射出光子。

一般的多体系统基态和激发态波函数很难精确得到，这个公式只是作物理说明使用，并非严格表达，仅仅在很少情况下才能够利用这一公式进行严格计算。实际应用中则退而求其次，替代计算方案是用有效理论去描述整个中间态过程，把所有复杂的事情当作一个黑箱放进 O_q。此时，振幅可写成图 8(c) 所示的形式，其中 O_q是有效散射算符。

基于如前所述的 L 边 RIXS 过程，我们知道，一般情况下可以将这个散射算符进行级数展开。这里做的事情，其实有点像路径积分的思想。尽管我们不知道实际上这个黑箱过程发生了什么，但我们可以猜想所有可能发生的情况，比如涉及单格点、二格点等散射过程。如此，有效散射算符可写成图 8(d) 的形式，其中 O_i、O_ij等即涉及单格点、二格点等散射过程。注意到，单自旋翻转过程是这里的单格点过程之一种。

图 9. 典型的二格点 RIXS 散射过程，通常称为 K 边 RIXS [10]。初态：1s 轨道的电子吸收光子跃迁到 4p 轨道上。中间态：留下的 1s 空穴对 3d 电子散射，这里空穴势 U_c 的存在，导致超交换过程发生变化，因此在中间态中发生了双自旋翻转。末态：4p 的电子返回到原来的 1s 轨道并且放出光子，在 3d 轨道留下了双自旋翻转的磁激发。

如上所述之可能性会受到具体材料的对称性约束。结合具体材料的对称性，结合我们想要研究的自由度 (如自旋、轨道等)，可以把这些多格点算符的形式确定下来。如此，描述复杂的 RIXS 过程之有效理论描述就告形成。对于 Kagome 等破坏空间反演对称等晶格体系，Dzyaloshinskii– Moriya 形式的相互作用是对称性允许存在的。因此，在这类材料中，二格点的有效散射算符可以写成图 8(e) 的形式。微观上这是中间态空穴散射价带电子导致。从这个散射算符可以知道 RIXS 测量的关联函数中含有的手征关联的信息。

在这个问题上，笔者所在的中山大学课题组与美国 Augusta University 的 Trinanjan Datta 合作 [11]，利用对称性构造一般的 RIXS 散射算符，架构如图 9 所示。再以 Kagome 反铁磁材料为例，系统计算了 RIXS 能谱的特征，获得了清晰的结果与结论，主要结果如图 10 所示。这一理论架构的构建，对阐明一般性的非共线非共面复杂磁结构具有重要意义，并且展示出 RIXS 可以用来探测复杂的手性关联体系。

详细描述，有兴趣的读者可参阅文献 [11] (点击文尾之“阅读原文”或访问 https://www.nature.com/articles/s41535-020-00282-6)

图 10. Kagome 晶格上具有磁性手征序的相图和负的手征序的 RIXS 能谱 [11]。(a) 经典相图：模型考虑面内 D_p和面外 D_z的 DM 相互作用，以及海森堡反铁磁交换 J₁。蓝 (红) 色区域是具有正 (负) 的手征性。在正的手征序中，当 D_p不为 0，自旋呈现非共面排列，而是具有 Kagome 面外的分量，类似伞状排列。红色的虚线是共面的情况，对应 D_p= 0。而负的手征序是共面的。黑色的两个点是 (b)、(c)、(d) 选取的参数，D_p= 0.19 J₁,D_z= ± 0.07 J₁。Kagome 反铁磁材料钒钡铜矿 BaCu₃V₂O₈(OH)₂的参数是带有正的 D_z点。(b) 非弹性中子散射谱—动态结构因子，里面的图是磁子的色散。(c) 二格点散射对 RIXS 的贡献。(d) 双磁子态密度。

表面上看起来，手征性和 RIXS 毫无联系，但手征性是多自旋算符 (常见的矢量手征是二自旋算符，标量手征是三自旋算符)。为了研究它们的涨落和关联，自然需要测量四自旋乃至六自旋的关联函数，这对于传统的实验技术手段，如中子散射，是难以触及的。RIXS 技术利用不带磁矩的光子，测量磁激发，实际上并不 trivial，其中涉及到复杂的多体、短时非平衡过程，最后的结果便是 RIXS 至少能测量四自旋的关联。如此一来，试图利用 RIXS 研究阻挫磁性的手征性便自然而然。

毫无疑问，若能从实验上直接研究阻挫磁性体系的手征性，相信对相变理论、自旋液体会有重要的推动作用。一方面，几十年来还没达到共识的手征普适类；另一方面，现代自旋液体的定义中，除了低温下自旋无序外，更重要的特征还有演生的 (emergent) 规范场以及分数激发。对于自旋体系，三自旋算符的标量手征性与规范场、Berry 相位有着密切的联系。标量手征算符的关联，正与规范场涨落相关。这，使得对手征性的研究越发重要。

6. 不是结语的结语

笔者费了一番口舌，不知是否将阻挫磁性或手征性问题给 beat it 了！事实上，beat 各种复杂的磁结构及其量子激发，一直是笔者所在的理论凝聚态团队工作之重点。除开 RIXS 理论，在凝聚态物理的磁性动力学方面我们也开展了长期研究工作，特别关注将理论结果与实验探测密切结合：

(1) 研究了带状反铁磁态 (铁砷超导体的母相) 和奈尔反铁磁态 (铜氧超导体的母相) 的双磁子激发能谱，揭示出磁阻挫能导致多磁子激发能谱产生非常明显的量子双峰结构，有助于实验分析磁阻挫相互作用的大小和符号 (Phys. Rev. 89, 165103 (2014))。

(2) 分析了晶格的振动 (声子) 可以导致双磁子激发的 RIXS 能谱产生进一步的三峰结构，能够在实验上研究磁子 - 声子的耦合效应 (Phys. Rev. B 96, 144436 (2017))。

(3) 对于非共线的磁结构，分析并揭示了三磁子激发 (奇数个自旋翻转) 的动力学行为，可以通过 RIXS 实验或拉曼散射来探测，从而作为实验区分共线和非共线磁结构的重要判据 (Phys. Rev. B 92, 035109 (2015)，Phys. Rev. B, 103, 024417 (2021))。

(4) 最探索了量子顺磁态的 RIXS 能谱特征，给出了正方晶格上柱状排列和交错排列自旋单态的三重子激发 RIXS 信号特征 (Phys. Rev. B 101, 024426 (2020)。

总之，磁性和 RIXS 的结合，产生了奇妙的物理！以前难以探测的手征性、多磁子激发等，能够被新兴的 RIXS 技术给与探测。反过来，RIXS 技术的发展，也导致科学界对于高能磁激发、准粒子间的相互作用、演生规范场、对称性等进行创新型研究。从更高的角度来看，量子材料和 RIXS 的结合，是一个新兴的研究方向，有很多重要的现象和规律等着大家前来探索！笔者相信，这可能是本文最值得期待的效果！

7. 参考文献

[1] H. Katsura, N. Nagaosa, A.V. Balatsky, Phys. Rev. Lett. 95, 057205 (2005)

[2] I. A. Sergienko, E. Dagotto, Phys. Rev. B 73, 094434 (2006)

[3] M. Mostovoy, Phys. Rev. Lett. 96, 067601 (2006)

[4] H. Kawamura, J. Phys. Condens. Matter 10, 4707 (1998)

[5] V. P. Plakhty, et al, Phys. Rev. Lett. 85, 3942 (2000)

[6] L. J. P. Ament, et al, Rev. Mod. Phys. 83, 705 (2011)

[7] L. Braicovich, et al, Phys. Rev. Lett. 104, 077002 (2010)

[8] L. Braicovich, et al, Phys. Rev. Lett. 102, 167401 (2009)

[9] L. J. P. Ament, et al, Phys. Rev. Lett. 103, 117003 (2009)

[10] Cheng Luo, T. Datta, Dao-Xin Yao, Phys. Rev. B 89, 165103 (2014)

[11] Zijian Xiong, T. Datta, Dao-Xin Yao, npj Quantum Mater. 5, 78 (2020).