胡长淼、洪一平——一道已知函数的最小值求参数取值试题的三种解法

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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“文章来源：邹生书数学”等字样。洪一平，83年毕业于浙江大学数学系，后在某学院任高数助教，89年获浙大数学系硕士学位。现任教于浙江省一级重点学校、国家级外语实验学校、浙江省现代教育技术实验学校——平阳中学，数学高级教师。《数学解题与写作交流群》大家公认的解题高手、数学名师和答疑解难热心人，群里朋友纷纷加他为微信好友以便进一步交流学习。洪一平老师是一位很受师生尊重和欢迎的好教师。

一道已知函数的最小值求参数取值试题

的三种解法

湖北省阳新县高级中学      胡长淼

浙江省平阳中学       洪一平

问题: 已知函数f(x)=ax+3+|2x²+(4-a)x-1|的最小值为2, 则a=______  

解法1:（数形结合巧拆妙分   洪一平提供）

由于直线l: y=ax+3与抛物线G: y=2(x+1)²必相交于两点A(x₁, y₁), B(x₂, y₂),x₁<x₂,设过P(x, 0)作x轴的垂线分别交直线l和抛物线y=(x+1)²于Q, R两点,

  由图可知f(x)的最小值只能在x=x₁或x₂处取得.

由于直线l过定点(0,3), 抛物线G过点(0,2), (-2, 2), 

知f(x)仅在x=-2时取最小值2, 得直线l过点A(-2, 2),

故a=0.5.

解法2:（运用绝对值性质求解   洪一平 提供）

由m+n+|m-n|=2max{m, n}恒成立, 

知u+|v|=max{u+v,u-v}恒成立，

得f(x)=ax+3+|2(x+1)²-ax-3|

=max{2(x+1)², 2[ax+3-(x+1)²]}

又当-2≤x≤0时, 0≤2(x+1)²≤2; 

当x>0或x<-2时, 2(x+1)²>2，

而f(x)_min=2, 知当-2≤x≤0时, 

f(x)=2[ax+3-(x+1)²], 这是开口向下的抛物线段, 

故f(x)_min=min{f(0),f(-2)}

=min{4, 2(2-2a)}=2(2-2a)=2,

得a=0.5.

解法3（必要性探路，将最值问题转化为恒成立问题求解   胡长淼提供）

函数f(x)=ax+3+|2x²+(4-a)x-1|的最小值为2,

等价于ax+3+|2x²+(4-a)x-1|≥2恒成立且等号能成立，

等价于|2x²+(4-a)x-1|≥-ax-1恒成立且等号能成立。

于是有2x²+(4-a)x-1≥-ax-1

或2x²+(4-a)x-1≤ax+1恒成立，

即x²+2x≥0或x²+(2-a)x-1≤0恒成立。

又x²+2x≥0等价于x≤-2或x≥0，于是问题等价于:

当-2 <x<0时，g(x)=x²+(2-a)x-1≤0恒成立。

由g(x)的图象知问题等价于g(-2)=2a-1≤0,即a≤0.5.

综上可知，当且仅当a=0.5时，|2x²+(4-a)x-1|≥-ax-1等号成立，

故当函数f(x)=ax+3+|2x²+(4-a)x-1|的最小值为2时, a=0.5.

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