罗小明：一题多变拓思路 融会贯通会解题——有关椭圆弦长定值问题的试题解析及拓展

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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一题多变拓思路  融会贯通会解题

——有关椭圆弦长定值问题的试题解析及拓展

湖南益阳市牌口学校   罗小明

本文先对一道关于椭圆弦长定值问题的解法进行探讨，再谈谈与本题条件完全相同的其它问题.希望对高中师生的教学有所帮助，同时对高三学生的备考有所启发.

一、有关椭圆弦长定值问题的试题

【思路】第（Ⅰ）小问通过点在线上及椭圆中a,b,c,的关系联立方程组即可解得；第（Ⅱ）小问的解题思路是：①第一步：用斜率公式算出直线PM和QM的斜率之积为常数-3/4；②第二步：分别通过联立直线PM、QM与椭圆方程求得A、B两点的纵坐标，利用斜率公式求得直线AB的斜率k_AB=1/t；③第三步：注意到共线情况，将直线PM和QM的斜率之积转化直线AM和BM的斜率之积，应用韦达定理表示出k_PMk_QM，从而建立关于m和n的分式方程，可以求得n的值；④利用勾股定理求弦长.

【评析】本题第（Ⅰ）小问是常规题，考查椭圆的基本概念，非常简单.第（Ⅱ）小问着重考查弦长定值问题，主要用到设参消参思想与转化思想，此外还需用到斜率公式、点到直线的距离公式、弦长公式、韦达定理、勾股定理、两个交点存在性判定（△＞0）等知识点.整个运算过程牵涉到所设四个主要参数t,r,m,n，通过推理演算最后消去所有参数，得到弦长AB为定值.

二、与上述题干条件相同的其它问题

1.定点存在性问题

【评析】本题第（Ⅱ）小问属于定点存在性问题，通过应用韦达定理、直线的点斜式、向量的坐标表示等知识点，最后利用垂直向量的数量积为零来建立关于n的方程，从而求得n有两个确定的值，且定点N恰好与椭圆的左右焦点重合.

2.求线段比的取值范围问题

【评析】本题第（Ⅱ）小问是求两个变量|AB|和|PQ|的比值的取值范围问题.主要考查韦达定理、弦长公式、两点之间距离公式、中点坐标公式、以及超越函数的值域.求解的过程中还用到了互相垂直的两条直线的斜率关系，试题的难度系数比前面两道题都低，属于中档题.

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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