罗小明、刘 晖——2021年湖南师大附中5月联考22题解法探究

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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2021年湖南师大附中5月联考

22题解法探究

湖南益阳市牌口学校    罗小明

湖南益阳市第一中学    刘  晖

【评析】本小题主要考查学生对含文字系数的圆锥曲线与过定点N（1,3）且斜率为k 的动直线AB的变化关系，通过韦达定理和“△法”来确定直线方程以及参数λ的取值范围.它需要学生具备解决此类问题的基本方法，而且还要有较好的运算能力.这类题型在考试中经常出现，我们必须训练过关.

  下面着重探究第（2）小问的解法.

【评析】首先由点差法用含字母y₀的代数式表示，然后两次应用弦长公式求得线段AB和CD的长度，再用两点间的距离公式求出线段MN的长（以上均用含的代数式表示），此法的关键是由“CD垂直平分AB且A、B、C、D四点共圆”，应用圆幂定理中的相交弦定理的推论得到AN²=CN•ND,于是建立关于λ和k的方程，再由”不管λ怎么变化”来得到的λ的系数应为0，求得，进而求得的y₀值.此法的计算量超级大，真可谓“千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金”.

【评析】此法主要运用圆幂定理中的相交弦定理来布列方程,通过线段NA、NB与它们的水平投影之间的关系，它们的长度可以用点A、B、N的横坐标及直线AB的斜率的代数式表示出来，仿照此法还可以表示出线段NC、ND的长度,然后结合韦达定理来建立关于λ和k的方程,便可获解.解法2相对解法1而言计算量有所减少，但运算能力也不容小觑.

【评析】此法主要运用直线的参数方程来解决动点到定点的距离问题，大大减少了计算量，思维方法也比较简单直接，对于本题而言不失为一种非常巧妙的解法.虽说新高考不再考查参数方程，但我们在教学中作一些适当的拓展，对于学有余力的学生来说将增加他们更加广泛的解题思路，培养他们从多角度来思考问题.

后记：①益阳市一中每次考试结束后，数学组每位老师都对试卷潜心研究，通过集体备课各抒己见、集思广益、博采众长，从而筛选出最优解法，以此来帮助学生打开解题思路，寻求节时省力的解题策略，帮助考生做一题通一片，提高课堂实效，轻松而又科学备考.②解答有关字母系数的圆锥曲线综合试题，往往需要用到诸如“过定点的直线解析式” “韦达定理” “弦长公式”“两点间距离公式”“点到直线的距离公式”“中点弦”“点差法”“△法”等知识或方法.此类有关字母运算的题型需要拥有较强的运算能力且每步要求细致入微，对考生的综合能力的考查可谓“窥一斑而知全豹，处一隅而观全局”.除此之外，我们平常也要注重夯实平面几何知识，做到解析几何与平面几何的有机融合，做到初高中知识一体化，这样我们一定会在考场上高屋建瓴、如鱼得水，从而破解难题，大获全胜!             

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