邹生书：高考热点——数列中的存在项问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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高考热点——数列中的存在项问题

湖北省阳新县高级中学      邹生书

新课程标准指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的主要方式”。自主探究是以问题为导向，使学生从数学学习材料中发现问题、分析问题和解决问题，从而形成探究能力。现在高考和模拟考加强了对探究能力的考查力度，数列中存在项项问题，三项成等差数列的存在性问题等是数列中的热点考题，是考查考生探究能力的素材。这类问题在考查等差等比数列有关知识的同时，重点考查探索问题的能力以及数与式的整除性，问题综合性强对运算求解能力和探索存在性问题能力有一定的要求。

存在性探索问题的考查，在一个题目中往往是最后一问，为了问题的完整性和资料性，本文保留原题各问，解答时只对存在性探索部分进行解析。

【评注】 本解法假设中构成等差数列三项的设法很有特色也具有一般性，存在性判断中用到了奇偶分析法，这些都是解决这类问题的常用方法。

例3（2011年高考湖北卷理科第19题）

【评注】 本题是一道存性与任意性兼容的试题，已知的是：存在k∈N^*,使得S_K+1,S_K,S_K+2成等差数列，要判断的是：对任意的m∈N^*,，且m≥2，a_m+1,a_m,a_m+2是否成等差数列。由于结论的不确定性，解题过程是一个推理论证和思辨的过程，也具有探究的成分。

例4（2012年江西省八校四月联考理科第19题）

【点评】本题最容易出现的错误是：在第一问求数列{a_n}的通项公式时，由于没有关注等式a=(1+λ)/λ•a_n+1成立的范围，误认为数列{a_n}是从第一项开始的等比数列，第一问解答出错而导致第二问题错中错，造成错误累加。另外，在第2问假设存在的三项a₁中是否包括首项需要分类讨论，这也是最容易忽视的。

  这是一个不定方程，有三个未知数，依题意只要求出这个方程的一个不为1的正数q的值即可，故可通过对n,p赋值尝试求解。

【评注】 第（3）问，题目较为开放，只要求考生找出一个即可，由上述解答知，答案不唯一，解法可通过赋值法进行尝试探究得到。

【评注】 本题对推理论证、运算求解和化归转化等能力方面的要求较高，此外，本解法还用到了主元思想分离整数、以及整数与整式的整除性等有关知识。

例7（2014年高考新课标卷I理科第17题）

公众号邹生书数学

2020年9月至2020年12月

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