彭光焰——向量数量积不等式|a|∧2|b|∧2≥(a•b)∧2的解题探究

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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|a|²|b|²≥(a•b)²的解题探究

432700   湖北省广水市一中      彭光焰

《中学教研》（数学）2006年第11期发表了孙建斌同志的《一个分式不等式的解题探究》一文（以后，简称文[12]），该文利用了定理：

来解决了一些数学问题，其实这个定理是二阶Cauchy不等式一种推广形式.

向量是高中数学必修内容，向量又具有几何形式和代数方法的双重身份，因此向量在代数、三角、平面几何、立体几何和解析几何等方面有重要作用.

  这一不等式与n阶Cauchy不等式是一致的，但它的解题功能强于n阶Cauchy不等式的解题功能.

下面就用文[12]中的例题来说明|a|²|b|²≥(a•b)²的解题功能.为便于比较，例题的顺序也不改变.

1 证明代数等式

（注：文[3]巧用“等叠法”证明；文[4]巧用Cauchy不等式证之）.

2  证明三角等式

经检验为原方程的解.

（注：该方程有些难度，然而解法颇多：巧用Cauchy不等式^[4]、配方法^[5]等.）

4  讨论含参数方程组

这里，两处等号不能同时成立，故不取“≥”，而取“>”.

（注：这一脍炙人口的赛题，证法颇多，如：巧用Cauchy不等式^[4]、叠加法^[7]等.）

8  证明一类无理不等式

（注：文[8]巧用构造几何模型证之；而用|a|²|b|²≥(a•b)²证明竟如此简洁，令人叫绝.）

9  证明三角不等式

（注：此处，巧用了0<cos(α-β)≤1,本题尚可用基本不等式证明^[9]或用互叠法^[7]证明之.）

10  求一次函数最值

12  求二次函数最值

的切线方程.由于过圆外一点作圆的切线有两条，还有一条切线方

程的斜率不存在，其方程是x-2=0.

（注：文[12]的解法有误，遗漏了一条切线方程x-2=0.）

15  求有关点的坐标

（注：注意此处考虑P、Q两点不同，故只取“>”.）

综上所述，只要我们认真审题，根据题目提供的信息，恰当地构造向量，便可巧用|a|²|b|²≥(a•b)²予以简洁、漂亮的解证.

参考文献 

1  孙建斌. 一类二元函数最值问题的一种解题策略[J].中学教研（数学），2004（11）：21-24.

2  沈红霞.一堂研究课的来龙去脉——对基本不等式的探究及应用[J].中学教研（数学），2006（6）：29-31.

3  孙建斌.巧用“等叠法”解题[J].中学教研（数学），2005（9）：38-40.

4  孙建斌.柯西不等式的解题魅力[J].中学生数学，2006（5）上：30-31.

5  黄量生.孙建斌.巧用配方法解三角题[J].中学数学月刊，2004（9）：24-25.

6  李铁烽.丢番图恒等式在解题中的应用[J].中学数学月刊，2002（7）：47-49.

7  孙建斌.与时俱进，大胆创新——“互叠法”证明不等式的发现与解题联想[J].数学通报，2006（5）：46—48.

8  李生有.构造解析几何模型证明不等式[J].中学生数学，2001（2）上.

9  曾思江，刘中华.用基本不等式解题的思维过程浅析[J].湖南数学通讯，1996（2）.

10  朋安，姚先伟，直线学习中的“八项注意”[J]，中学生数学，2001（2）上.

11  孙建斌.“特征信息”的捕捉与解题的最优化[J].中学数学教学参考，2001（12）：29-30.

12．孙建斌.一个分式不等式的解题探究[J].中学教研（数学），2006（11）：17-21.

作者彭光焰往期文章链接

【作者简介】彭光焰，男，1989年6月毕业于华中师范大学数学系，正高级教师，湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”，湖北省优秀中学数学教师，湖北省骨干教师，湖北省教育科学研究学术带头人，享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家，随州市首批学科带头人，随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员，随州市高中数学学科核心团队成员，湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人，曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师，曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员，广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今，先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇，其中在核心期刊发表论文32篇，主持各级课题5项，参编高中数学教学用书6册，获地级以上教科研成果奖38项。

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