彭光焰：巧用教材资源 命制高考试题 ——对2014年湖北省高考文科数学第17题的探究

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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巧用教材资源命制高考试题

对2014年湖北省高考文科数学第17题的探究

湖北省广水市一中  彭光焰

一、问题

（2014年湖北省高考文科数学第17题）

这道题短小精悍，个性鲜明，内涵丰富，乃整张试卷中的一个亮点，命题者以阿波罗圆为背景，将解析几何知识与代数中方程思想融为一体，具有一定的思维量.

二、教材背景

问题1（人教社A版必修2课本第124页习题B组第3题）已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为1/2，求M的轨迹方程.

问题2（人教社A版必修2课本第140页例题）已知点P(2,0),Q(8,0)，点M与点P的距离是它与点Q的距离的1/5，用《几何画板》探究点M的轨迹，并给出轨迹的方程.

问题3（人教社A版必修2课本第144页复习参考题B组第2题）已知点M(x,y)与两个定点M₁,M₂距离比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1或m≠1两种情形）.

对于问题3，我们不难发现：当m≠1时，点M的轨迹是圆；当m=1时，点M的轨迹是直线.这一结论，早在公元前就被古希腊著名的数学家阿波罗尼斯发现了，人们把这样的圆称为阿波罗圆，直线称为阿波罗直线.

表面上看问题与阿波罗圆没有多大关系，而深层次思考，此题就是考查阿波罗圆.该问题实质上是探究阿波罗圆相关知识的可逆性，这对学生而言是应属创新性思维，这种创新性思维可以不断激发学生创新欲望之目的.

三、问题的解决

解法1、解法2、解法3都利用了方程思想.我们知道一元一次方程的一般形式是ax=b，它的解的情况是：当a≠0时，它的解是x=b/a；当a=0且b≠0时，它的解集是空集；当a=0且b=0时，它的解集是实数集.作为填空题或选择题用解法1好，作为解答题应该用解法2或解法3.

四、问题的研究

著名数学教育家波利亚说过：“没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与研究，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们都能提高自己对这个解答的理解水平.”他打比方说：“在你找到第一个蘑菇（或作出第一个发现）后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的.”我们从课本三个例习题出发，首先找出它们的背景，然后研究它们，可得到一些结论.

1.变式的研究

通过问题和变式，我们得到下列结论：

（1）给定两个定点以及定比（不为1）对应的阿波罗圆是唯一确定.

（2）给定两个定点及不同的定比（不为1）对应着不同的阿波罗圆.

（3）阿波罗圆的圆心应该在两个定点所确定的直线上.

（4）若给出阿波罗圆及一个定点，则另一定点及定比是唯一确定.

2.推广研究

3.拓展研究

阿波罗圆涉及两个定点、定比（不为1）、阿波罗圆、过定点和阿波圆圆心所确定的直线.从求阿波罗圆过程可知，已知两个定点和定比（不为1），我们可以求出阿波罗圆的方程.从2014年湖北省高考题可知，已知阿波罗圆和一定点，可以求出另一个定点及定比.不仅如此，已知阿波罗圆及两个定点，我们容易得到定比.已知阿波罗圆和过阿波罗圆的圆心的直线及定比，我们可以求出两个定点的坐标和定比的值.

当过阿波罗圆圆心的直线为y轴时，我们也可以求出两个定点的坐标.

下面我们来讨论更一般的情况，当过阿波罗圆圆心的直线为y=kx时的情形.

五、反思

前苏联数学教育家奥加涅相说过：“必须重视很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性.”中学数学教材中的例习题凝聚了几代专家、学者的集体智慧和结晶，研究这些例习题，充分挖掘其内在功能的教育教学价值是一线教师责无旁贷的任务.

课本上一些看似平淡无奇的例习题，隐藏着深远的背景，也许有着意想不到的功能.如果对教材中的例习题仅停留在它的表面，而不探究它的本质，那么就会失去例习题的内涵与新意，也会失去提升学生学习能力的作用，不利于我们教学的开展与深入，不利于学生思维能力的培养.课本上三道例习题，表面上只是简单的求轨迹问题，似乎功能单一.但是，通过教师的精心安排，通过对它们背景揭示，逆向思考，这样一组问题的设置和探究，例习题的启发作用就发挥得淋漓尽致.

教师应引领学生系统把握前后关联知识的内在联系.数学教材中不同部分内容之间有时潜藏着有机的联系，这种有机联系同样反应在课本例题或习题中.教师在上新课或高考复习中应该注重挖掘，沟通其联系，找出其背景，适时对有着关联的各部分例题和习题进行整合、重组、演变、推广，使学生能通过这些变化与联系，从不同侧面和多种角度更加深入地把握问题的本质，如果只是孤立、片面地就题解题，毫无疑问是低效的教学方法.相反，运用运动变化、普通联系、辩证唯物的观点去分析、观察、探索一个数学问题，寻求例习题的内在变化规律及习题之间的联系，是提高教学效率的一种有效途径.

参考文献：

1.漆光宗.在探究教学中把握学生思考引向深入[J].中国数学教育（高中版），2014（5）.

作者彭光焰往期文章链接

【作者简介】彭光焰，男，1989年6月毕业于华中师范大学数学系，正高级教师，湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”，湖北省优秀中学数学教师，湖北省骨干教师，湖北省教育科学研究学术带头人，享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家，随州市首批学科带头人，随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员，随州市高中数学学科核心团队成员，湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人，曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师，曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员，广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今，先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇，其中在核心期刊发表论文32篇，主持各级课题5项，参编高中数学教学用书6册，获地级以上教科研成果奖38项。

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