马力仲2020年高考数学试题分析讲座第四讲——整体把握结构稳定 着眼细节字母可变

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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2020年高考

数学试题分析讲座第四回

整体把握结构稳定    着眼细节字母可变

主讲人：马力仲（蓝和平）

【编者按】2020年高考数学试题分析讲座第四讲：《整体把握结构稳定，着眼细节字母可变》，由高途课堂名师马力仲（蓝和平）先生主讲。本视频主要有两个内容：数学公式和同构函数，意在传授和交流学习数学公式和数学表达式的心得体会。讲座以2020年高考数学试题为例，解读数学公式的本质特征、理解与应用，慢动作重点讲解如何运用同构方法，构造同构函数解决有关的函数不等式等问题。讲座深入浅出，重点突出，难点突破，语言风趣幽默、形象生动，具有大师风范。走过路过，不可错过。

一、关于数学公式

11.（江苏卷）设{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列，已知数列{a_n+b_n}的前n项和S_n=n²-n+2ⁿ-1(n€N^*)，则d+q的值为＿＿＿

解析:(1)等差数列前n项和公式S_n=An²+Bn.

公差为d的等差数列{a_n}的前n项和为:

反之，若数列{a_n}的前n项和为An²+Bn，则数列{a_n}是公差为2A的等差数列。

(2)公比q不等于1的等比数列前n项和公式S_n=C(qⁿ-1)

公比q不等于1的等比数列前n项和公式

反之，若数列{a_n}的前n项和为S_n=C(qⁿ-1),q≠1,C≠0，则数列{a_n}是公比为q为等比数列。

下面，我们用上述知识来解答江苏卷第11题。

由数列{a_n+b_n}的前n项和S_n=n²-n+2ⁿ-1，知道等差数列{a_n}的前项和为n²-n，等比数列{b_n}前n项和为2ⁿ-1，由上述知识易知，d=2,q=2,所以d+q=4.

二、关于函数同构

 解析：首先对已知式子作同构变形，然后用函数的单调性求解。通过观察，左边结构简洁，因此，将右边的式子向左边式子的结构化。

同构变形完成，且由等式变成了不等式，这正是我们所希望的。

21.(山东卷)已知函数f(x)=ae^x-1-lnx+lna.

（I）当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

（II）若f(x)≥1，求a的取值范围。

解析：（II）用同构方法求解，别样精彩。

f(x)≥1,即ae^x-1-lnx+lna≥1。

下面进行慢节凑的同构变形。

点评：这个解法虽然不及参考答案的常规解法简洁，但用同构方法来处理很有意思很有趣味，有一种玩数学的感觉。

 [作者简介]蓝和平，曾用名马力仲。从事高中数学教学35年，发表文章近百篇，出版专著《图式理论与中学数学教学》。

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