邹生书——二次函数方程a[f(x)]^2+bf(x)+c=0实根问题的求解通法

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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二次函数方程a[f(x)]²+bf(x)+c=0

实根问题的求解通法

湖北省阳新县高级中学     邹生书

已知函数f(x)和关于函数f(x)的二次方程a[f(x)]²+bf(x)+c=0的实根问题，是高考和模拟考中的一个热点问题。问题涉及方程实根个数、参数取值范围、二次函数图象和性质等，问题解决涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和化归转化四种重要数学思想，同时重点考查二次方程和二次函数等相关知识，所以这类问题具有关系复杂、综合性强、难度大等特点，对考生综合运用数学知识和思想方法解决问题的能力要求比较高。因此，考生对这类问题感觉困惑，束手无策，不知所措。这类问题多以选择题或填空题的形式出现，并且是客观题中的压轴题，具有选拨功能。本文笔者结合典型考题对这类函数方程实根问题给出解题通法，希望对大家有所帮助。

   综上可知，关于函数f(x)的二次方程a[f(x)]²+bf(x)+c=0的实根问题，最终转化为两条直线y=t₁,y-t₂与函数y=f(x)图象的公共点问题来处理。解法充分体现了化归转化思想、函数方程思想、分类讨论思想和数形结合思想。利用函数图象解题，解法形象直观，便于操作，易被学生掌握，是解决这类问题的通法。注重通性通法，淡化特殊技巧，这是新课程理念对解题教学的基本要求。

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