赵志岗——深度解析2020年全国1卷理数第21题的命题方式与背景

Original 赵志岗邹生书数学 2022-07-17

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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深度解析2020年全国1卷理数第21题

的命题方式与背景

山西省忻州一中 赵志岗

高考真题（2020年全国1卷理数第21题）

下面对第2问的解法进行探讨，并对命题背景作点挖掘。

解法一：（分类讨论法）

解法二：（分离参数法）

传递失败，需继续分类讨论，此解法受阻崩溃.

反思认识：此题最好的解法也是学生最易想到的做法就是分离参数法。

问题1：此题不等式在端点处取等，为什么不能用端点效应法，而适合用分离参数法？（先留作思考）

问题2：此题不等式在端点处取等，为什么用分参法会遭遇到洛必达法则（不是中等数学推荐的方法）？为什么适合用端点效应法？

问题3：前后两题，差别只在三次项系数不同，解法的选择上就截然不同，根源在哪里？教学上如何指导学生选择？

命题背景探析：

想给学生一杯水，老师得有一桶水，老师必须得视野广阔，压轴题是数学教师斗智斗勇的主阵地，要在高观点下审视压轴题，方能统领全局，揭示本质，要做到这一点，一定的高数知识是必不可少的。

本题命题背景：

由此可得一些预判性结论：

若e^x≥mx³-+ax²+x+1（m为已知数）在x≥0时恒成立，求a的取值范围。

①若m≥1/6，则g(x)=e^x-mx³-ax²-x-1在[0,+∞）上不是

增函数，此时不宜用端点效应法去求，因为此时已经不是最佳逼

近，故分参之后函数的最值就不在端点处取，所以分参之后也一定不会用到洛比达法则，分参法此时恰到好处。

②若m<1/6，此时不等式右侧的三次函数比最佳逼近的三次函数还小，故可知g(x)=e^x-mx³-ax²-x-1在[0,+∞）上一定是增函数，可预知分参后函数的最值在端点处取到，此时必须要用到洛比达法则，分参法已不是解决此题的最佳方法了。因为g(x)在[0,+∞）上是增函数，故只需保证端点处成立即可，端点效应法就成为此题的最好方法了。