点差法与向量联手简解中点弦问题

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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点差法与向量联手简解中点弦问题

湖北省阳新县高级中学    邹生书

文章发表于《中学数学》2011年第5期 

中点弦问题是直线与圆锥曲线的重要题型，也是高考的热点问题。在解答中点弦问题中的一个比较理想的方法是，点差法与直线斜率联合解题。它比用根与系数的关系和直线斜率联合解题，具有 “设而不求”减少运算量的功效。但美中不足的是：有时需要对斜率的存在性进行分类讨论，甚至在运算变形过程中还要进行第二次分类，很容易造成逻辑上的混乱和表达上的困难，常给人“会而不对，对而全，全而不美”的解题感受。向量是解决直线问题的一把利剑，若将点差法与向量联手，则可达到一种新的解题效果和解题体验。

一、求过定点动弦中点的轨迹方程

向量是解决直线问题的一把利剑，从以上数例可以看出：由于向量的介入，避免了分类讨论所带来的表达上的不便和逻辑上的混乱，同时又突出了点差法设而不求流畅解题的效果。点差法与向量联手，真可谓是珠联璧合的优化组合，既避免了分类讨论，又大大减少了运算量，同时优化了解题过程，解法简洁流畅犹如行云流水，给人以美的享受，充分体现了数学知识和思想方法优化组合通力协作的解题策略和无穷魅力。

参考文献：

[1] 邹生书。课本习题的潜能挖掘与应用。高中数学教与学，2010（11）

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