彭西东——圆来如此，阿氏圆的深度学习。

阿氏圆定理（阿波罗尼斯圆定理）：

若一动点P 到两定点A,B之间的距离之比为定值k, 则点P的轨迹是以定比k内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。

其实说真的，无论是高中或初中，这个阿氏圆都还是比较常见的。

因为它曾经或依旧是中考的热门考点，也一度是高中几何的常考点。

还曾经或许将一直被称作“圆的第二定义”。

所以，单独研究下这个圆，也还是会很有价值的。

1

阿氏圆的“前世今生”

几何的前世

由定值寻找阿氏圆

说真的，这个几何证法只是按阿氏圆定理作了个图，并结合三角形的角平分线定理构造出了这个圆。仅此而已。

也仅是仅此而已！

为什么这么说呢？

不说现在还有多少孩子知道内分点和外分点，但凡经历过初中的孩子们都知道，中考比较热门的“PB+kPA”型最值问题，就需要通过适当的方式 ，将之转化为大PB+PE形式的“胡不归问题”处理。

但如何转化呢？这就需要学生了解甚至熟知阿氏圆的基本常识了。

很多的老师总认为这个转化其实是非常简单的，因为他们有一直津津乐道的“美人鱼”或“子母”相似三角形。但其实，又有多少同学能够很直观地理解甚至记忆这个结论呢！

因此，今天就想对阿氏圆定理做一个稍微深入些的分析或思考。并通过例题，让初高中的孩子们能够更容易接受这种通性通法的思路。

由阿氏圆寻找定点

其实，站在结论的制高点对问题进行剖析，往往会起到意想不到的效果。

就象上面的两个结论，我认为才算是解决了初中生最大的烦脑。

因为，对于大部分学生来说，最喜欢的莫过于这种最直白的结论了。毕竟很多时候，因为压力和时间的原因，在他们的眼里和心里，数学是毫无美感可言的，而这种通性的结论，可能会更加让他们乐于接受和记忆。

因此，要找点E，如果你告诉他：

他一定会很容易的就知道怎么做出点E了。

因此，数学的教学，还是尽量远离类似于“美人鱼”或“子母”这种自我陶醉式的总结吧。

代数的今生

解析法证明阿氏圆

在上面的证明过程中，有没有体会出“解析法”的强大呢？

平面内到两定点距离之和为定值得椭圆，之差为定值得双曲线，现在的之比为定值又得到了圆。所以说，将“阿氏圆定理”看作“圆的第二定义”确实是有一定道理的。

而且，对于高中的孩子来说，可能会更加喜欢现在的这种解析法吧？

这也是我觉得从几何和代数两种角度对阿氏圆的理解，就是阿氏圆的前世和今生的原因。

几何的前世，代数的今生。

只是，这个“解析法”的计算量，嗯，确实也稍微的丰富了些。

但如果撇开计算量，观察结果，你就会发现一些便于我们以后解题的规律了。

在具体问题中，至于圆心的位置，只要知道在定点确实的直线上就行了。一般而言，半径才是最重要的。

所以记住半径的结论是至关重要的。

其实，从知识的角度看，掌握了上面这些，以后对于“阿氏圆”有关的问题，我们就可以肆无忌惮的处理了。

2

阿氏圆的应用

其实，对阿氏圆的考查，主要从隐圆和最值两个角度入手。

与最值相关的，类似于“胡不归问题”高级版本。

因此，也决定了它的处理，将更有思想性和思维性。

而隐圆问题，主要考查学生对阿氏圆条件特征的理解和记忆。而这，注定也是高中生所要面对的。

因为综合性的问题，也将更能考查作为一名高中生应有的应变和综合能力。

NO.1

知圆方知缘如此

☆几何法寻找隐圆

☆代数法寻找隐圆

☆几何法寻找隐圆

NO.2

循圆找点显从容

NO.3

圆外综合显能力

完

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