杨俊——椭圆上一点到定点的距离最值的问题

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椭圆上一点到定点的距离最值的问题

深圳   杨俊

解析:此题源自2013深圳二模文科第20题,当时这道题很多同学由于之前没有遇到过类似的题型,临场也没有想出解决问题的办法,所以这题的第二问绝大多少同学1分未得。没错,双动点距离的最值问题本身也是属于比较麻烦的题型,如果不抓住一些特点，做起来是很困难的。注意到此题中一个动点Q是在一个圆上运动的,故我们会先思考一个问题,那椭圆上一个动点P到该圆的圆心O(0,2)的最远距离是多少呢？

有同学就马上总结到,老师,我明白了,就是去转化拿到距离的表达式,求得其最值即可,也不难嘛。而且,我还发现,就在椭圆的下顶点(0,-√3)那里有最大的距离。

首先，还是要表扬这位同学很快的观察和归纳能力，但是，这个结论并不正确，不是每次都在椭圆的下顶点(0,b)那里有最大的距离。

可见,通过这两道题目对比的结果可知,最大的距离|PQ|是一定存在的,但未必每次都在椭圆的下顶（0,b）那里取到,也有可能在这个点的旁边的位置取到,那何时在下顶点取到最值,何时在下顶点的旁边取到最值呢？这个问题和椭圆的离心率有直接的关系,我们通过下面二道练习继续深入研究这个问题。

解析:此题选自刚刚结束的2020年高三二模第16题,初次拿到这个题目的时候,我也花费了一些时间来思考，如何才能保证圆永远和椭圆C最多只有两个交点呢?该如何去转化和计算呢？

通过仔细的思考可以发现,最多只有两个交点的意思就是：椭圆上绝对不能有三个不同的点到圆心P(0,m)的距离是相等的,当然,四个点就更不行了。

这点想通了,马上回到例1的做法，

最后,查阅资料才发现,早在2016年浙江省高考题第16题,就出现过这个模型,我们不妨来回顾一下这道练习。

解析:第一问比较简单,使用弦长公式即可,相信每个高三学生都是要熟练掌握的,我们主要解决第二问。

有了之前的基础打底，这个最多只有三个公共点就很快能够想通了，意思就是椭圆上绝对不能同时有四点到圆心A(0,1)的距离相等。

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