关仲卿——解密含有a+b+c=1的条件不等式的证明

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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关仲卿，中学数学高级教师，省科技创新优秀人物，省电化教育馆人才库专家成员，市兼职教研员；市模范班主任，先进教师，科研先进教师；省信息技术成果一等奖，市优质课大赛一等奖第一名；参加省市论文评选一等奖以及发表CN论文共43篇，曾担任天星教育图书编辑，外研社图书编辑，校报编辑，参与编写教育教学论著10部；多次荣获全国或省数学联赛“优秀辅导员”称号。

　解密含有a+b+c=1的条件不等式的证明

河南师大附中  关仲卿

不等式的证明，经常从已知条件、不等式的性质和基本不等式出发，借助综合法和分析法，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．如果只有用某些范围内的数值代替其中的字母才能够成立的不等式叫做条件不等式．含有条件a₁+a₂+…+a_n=1的不等式的证明一直是高考命题的热点问题，题型一般是轮换对等不等式，条件本身的特殊性能启发我们的证明思路，注意等号成立的条件．

【2019年高考全国3卷理科第23题】

含有条件a₁+a₂+…+a_n=1的不等式的证明,高考命题设置技巧一般不是很高,注意常规解题思路,下面我给出一些解题的基本方法：

兵法一：声东击西，形式统一.证明不等式左边大于或等于1，其实证明大于或等于a+b+c．

【典例1】（2013全国新课标Ⅱ第24题第Ⅱ问）

兵法二：偷梁换柱，巧妙变形：看似不等式中含有1，其实应该换为a+b+c.

【点评】本题只对证明的命题的形式分析，感觉题目也是无从下手，在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式①偷梁换柱，隐含了“真面目”，给证明不等式带来困难，若将“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决了问题.

【点评】本题是2012福建高考第23题第Ⅱ问，参考答案利用柯西不等式给出证明，其实本题1/a,1/2b,1/3c看成整体，借尸还魂，得到X+Y+Z=1和定形式，而a,2b,3c所要证明的形式恰好是1/a,1/2b,1/3c倒数形式，从而揭示了本题的命题形式，还原了本题的命题意图，借助基本不等式解决问题．

兵法四：无中生有，形式拼凑：题中没有和为1，巧妙配出形式，进而利用基本不等式求证.

【典例4】（黑龙江哈尔滨市第32中学2014届高三第一次月考）

含有a+b=c=1的条件不等式的证明方法也许不止一种.但是通过对特殊不等式证明方法的总结，可以使我们得到很多体会，在不等式证明时既要合理使用不等式中的一些结论,还要不断总结观察不等式的一些技巧,使得证明过程清晰，变形恰当，书写工整，有理有据，规范简洁.实际上,很多“轮换对称问题”给出的不等式都是在所给字母相等时成立等号,利用这一性质还可以迅速地求解一些代数式的最值,特别是对一些选择题和填空题非常有效.注意不等式的研究方法，提升对不等式命题的认识，由特殊不等式到一般不等式，及时归类总结，提高解题能力.

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