是时候给三角形的“四心”做个了结了

曾听不少同学说，

一做三角形“四心”问题，

总感觉心里空落落的，

没有感觉。

确实，

自从有了向量，

三角形的“四心”就变的神秘了。

今天是时候和它做个了结了。

01

三角形重心“G”

三角形三边的中线相交于一点

1.重心到顶点距离与重心到对边中点距离之比为2：1。

2.重心和三个顶点构成的三角形面积相等。即：重心到三边的距离与三边的长成反比。

3.重心到三角形三个顶点距离平方和最小。

4.三角形重心坐标是顶点坐标的算术平均。

5.三角形重心的向量式： 

02

三角形外心“O”

三角形三边垂直平分线相交于一点

1.外心到三顶点距离相等。

2.锐角三角形外心在三角形内，

   钝角三角形外心在三角形外，

   直角三角形外心为斜边中点。

3.三角形外心向量式：

03

三角形垂心“H"

三角形三条高线相交于一点

1.锐角三角形垂心是以三个垂足为顶点的

   三角形的内心。

2.三角形垂心H，外心O，则有：

3.三角形任一顶点到垂心的距离等于外心

   到对边距离的2倍。

3.三角形垂心分每条高线两段乘积相等。

4.三角形三个顶点、三处垂足和垂心，

   组成6个四点共圆。

5.△ABC，△ABH,△BCH,△ACH

   有相等的外接圆。

6.三角形垂心向量式：

04

三角形内心"I"

三角形三个内角平分线相交于一点

1.直角三角形内切圆半径：

2.椭圆、双曲线焦点三角形内心：

3.椭圆、双曲线焦点三角形旁心：

4.三角形内心向量式：

典型例题赏析

End

作者：彭西东   转自：素人素言

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