求二项展开式系数最值项的一种完美解法

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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求二项展开式系数最值项的一种完美解法 

湖北省阳新县高级中学   邹生书

求二项展开式中系数最大项和最小项问题，实质上是求一个由系数或系数的绝对值所构成的有穷数列的最大项和最小项问题。这类问题的一个传统的解法是“解不等式组法”，但学生往往对该解法的合理性产生质疑；在解题过程中，当所列不等式组无解时会感到困惑、盲然和不知所措；对系数有正有负时此法更是难以适从，也就是说该解法在应用上有很大的局限性。本文笔者另辟蹊径得到了解决这类问题的一种完美的解决方法——运用数列的单调性求二项式展开式中系数最大项和最小项。

   此不等式组无解。能否说二项展开式中没有系数最小的项？这显然是不可能的，那么问题出在哪里？

   点评：传统解法用列不等式组求二项展开式中的系数最值项时，若不等式组“有解”，这说明系数的最值项在中间取得，若不等式组“无解”，这说明系数的最值项不在中间，只能在首尾两项中取得。该解法有如下三个不足之处：一是需要解两个不等式，运算量较大；二是不等式组无解时，说明系数的最值项在首尾取得，若看不到这一点，很容易因中途思维受阻半途而废而前功尽弃；三是运用有局限性，不等式组只能反应局部关系不能反映整体情形，特别对于系数正负相间出现时求系数最值，此法很难生效。那么有没有一种方法可以避免传统解法的这一局限性呢？答案是肯定的。用系数数列的单调性就可以完美解决二项式展开式中系数最值项的有关问题。

   下面我们用系数数列的单调性再解例1中求二项式展开式的系数最大项和最小项问题。

   点评：单调性是一个整体性观念，反映的是在某一范围内的增减情况。比较两解法知，用单调性求解只需要解一个不等式，然后把系数排队，形象直观地求出系数最大项和最小项，真可谓一举一两得而事半而功倍。

   点评:展开式中系数有正有负，先考虑系数的绝对值的单调性，然后用系数正负依次出现的规律进行分析便可求出展开式中系数最大项和最小项。

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