邹生书、陈佳文——巧解妙解暴力解揭示本质可速解

Original 邹生书邹生书数学 2022-08-05

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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巧解妙解暴力解揭示本质可速解

——对一道抛物线涉及线段等积问题的解法探讨和背景溯源

浙江温州陈佳文

湖北省阳新县高级中学邹生书

【来源】高中数学解题交流二群 浙江金华 田卓凌 提供

解法1：用直线的斜截式方程硬解 浙江温州 陈佳文 提供

(2)由抛物线的切线方程公式，

得到l₁的方程为y=x+1。

根据切割线定理的逆定理，PQ是△QAB外接圆的切线且切点为Q，则其外接圆圆心G在过点Q且垂直于l₁的直线即y=－x+3上，设G点坐标为(a,3-a)，联立圆G与抛物线C的方程，得

消去x得 (y-2)²[y²+4y+28-8a]=0 ①

则y_A ,y_B是y²+4y+28-8a=0的两个实根，

∴y_A +y_B=-4，

因此可以设l₂的方程为y=－x+t(t≠3)，联立l₁, l₂的方程解得x₀=(t-1)/2，将y=－x+t代入抛物线方程得，x²－(2t+4)x+t²=0，

由Δ＞0可得t>-1, x₀=(t-1)/2>-1,且x₀≠-1，

因此x₀的取值范围是(-1,1))∪(1,+ ∞)。

【注解】这里①处的因式分解是这样得到的：

联立后消去x得到方程

y⁴+(16-8a)y²+(32a-96)y+112-32a=0 ②

因为点Q是抛物线与圆的公共点，所以其纵坐标y=2必为方程②的根，于是可设方程②左边为(y-2)(y³+my²+ny+16a-56)，

解得：m=2,n=20-8a。

所以左边为

(y-2)(y³+2y²+(20-8a)y+16a-56)，

又注意到

y=2为y³+2y²+(20-8a)y+16a-56=0的实根，

同理有

y³+2y²+(20-8a)y+16a-56=(y-2)(y²+4y+28-8a)=0。

解法2：本解法以上述陈老师的解法为基础，在某些细节的处理上有所不同。解法如下：

由PQ²=PA•PB，根据切割线定理的逆定理，知PQ是△QAB外接圆的切线且切点为Q，则其外接圆圆心G在过点Q垂直于l₁的直线y=－x+3上，由此设G点坐标为(a,3-a)，联立圆G与抛物线C的方程，得

【评注】点Q是抛物线与椭圆的切点，所以y=2是方程的二重根，如果是交点，则是一重根，明确这一点对方程左边变形因式分解有很好的导向作用。

解法3: 巧用直线的参数方程求解

【解后反思】从上述诸多解法知切线l₁的斜率与直线l₂的斜率恰好互为相反数，这一点很有意思，是偶然还是必然？结合解法1中的辅助圆，编者联想到圆锥曲线上四点共圆有如下充要条件：已知斜率均存在的两条直线，与对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线相交于四点，那么这四点共圆的充要条件是这两条直线的斜率互为相反数。当其中一条直线变成切线时，两交点重合变成切点，结论仍然成立。

若用这个二级结论则有更加简洁的方法，由PQ²=PA•PB，根据切割线定理的逆定理知，PQ是△QAB外接圆的切线且切点为Q，由上述结论知直线AB与直线PQ的斜率互为相反数，所以直线PQ的斜率为-1，下面的问题就容易了。