程 波——由函数解析式判断其有无对称性，我有个好主意

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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由函数解析式判断其有无对称性，

我有个好主意

江西南昌新建一中  程波

   事情要从一个题开始.话说在某个阳光灿烂的下午，我随手编了一个小题：

本来可以到此为止的，可是突然想到有些学生对此类问题最喜欢做的是：直接代、端、点！于是把两端点代入并求和，竟然发现结果也是π!简直太诡异了！此时一位小伙伴提醒：应该是有对称中心……. 按照题中的两组和，猜想中心应为(π/2,π/2)，并且能证明猜想是正确的. 也就是说，如果我从一开始就知道这个函数有对称中心，那我还需要算什么呀？直接就能从对称性得到最大值与最小值的和！可是函数解析式千变万化，就比如这种由一个偶函数（y=cosx）和一个奇函数（y=x）相加得到的函数，怎么判断它有没有对称性？如果有，又如何确定它的对称中心（轴）？

我不禁陷入了沉思（为什么对称好像有“传递性”），在沉思中联想到我们经常用的一个性质：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数. 反过来呢？根据奇偶性的定义与复合函数求导法则，奇函数的原函数是偶函数（原函数关于y轴对称），偶函数的原函数是奇函数+常数（此时虽然不一定是奇函数，但是有对称中心），那么对于普通的对称函数呢？是否也有此性质？

  只是如此一来，就没法用“往死里导”的方法来“肉眼观测”出f(x)的对称性，这的确有点遗憾……

最后，要感谢提醒我对称性和赋值的那位小伙伴，他是我的良师益友.

祝大家节日快乐！

程 波 2020.10.1

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