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程 波——由函数解析式判断其有无对称性,我有个好主意

程 波 邹生书数学 2022-08-05

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由函数解析式判断其有无对称性,

我有个好主意

江西南昌新建一中  程波

   事情要从一个题开始.话说在某个阳光灿烂的下午,我随手编了一个小题:

本来可以到此为止的,可是突然想到有些学生对此类问题最喜欢做的是:直接代、端、点!于是把两端点代入并求和,竟然发现结果也是π!简直太诡异了!此时一位小伙伴提醒:应该是有对称中心……. 按照题中的两组和,猜想中心应为(π/2,π/2),并且能证明猜想是正确的. 也就是说,如果我从一开始就知道这个函数有对称中心,那我还需要算什么呀?直接就能从对称性得到最大值与最小值的和!可是函数解析式千变万化,就比如这种由一个偶函数(y=cosx)和一个奇函数(y=x)相加得到的函数,怎么判断它有没有对称性?如果有,又如何确定它的对称中心(轴)?


我不禁陷入了沉思(为什么对称好像有“传递性”),在沉思中联想到我们经常用的一个性质:奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数. 反过来呢?根据奇偶性的定义与复合函数求导法则,奇函数的原函数是偶函数(原函数关于y轴对称),偶函数的原函数是奇函数+常数(此时虽然不一定是奇函数,但是有对称中心),那么对于普通的对称函数呢?是否也有此性质?


  只是如此一来,就没法用“往死里导”的方法来“肉眼观测”出f(x)的对称性,这的确有点遗憾……

最后,要感谢提醒我对称性和赋值的那位小伙伴,他是我的良师益友.

祝大家节日快乐!

程 波 2020.10.1


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