柴淑兰、王丽敏——抓好“概念、方程和几何性质”解决椭圆常规问题

Original 柴淑兰、王丽敏邹生书数学 2022-08-05

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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抓好“概念、方程和几何性质”

解决椭圆常规问题

山西省朔州市朔城区一中柴淑兰

西南大学在读大四学生王丽敏

一、抓住椭圆定义、方程和几何性质是解决选填小题的基本方法

小结：解析几何很多小题或大题第一问是考察定义、方程和几何性质，所以注意围绕这个方向找解题思路或突破点,当然平面几何知识在解题中能够起到“推波助澜”，一定要注意利用。

二、“弦中点问题”

解法三：利用弦中点性质

小结：该题运算量很小，用哪种方法都不麻烦，但是一个易错题，容易忽略限制范围。解法一规范解答，在使用根与系数关系之前，如果能想到对判别式加以限制的话，自然x范围是受其影响的，能够注意到，并加以限制；解法二和解法三没有判别式，但要考虑到弦中点务必在椭圆内的话，自然想到应该限制了，联立求交点横坐标即可找到x应该有的限制条件。

小结：该题注意到直线过定点，而且定点在椭圆内，所以和例3比不需要限制条件。但第一种方法消参比较麻烦，最后方程化成标准形式不一定能做好，如果不要求答出轨迹形状，方程写成一般形式就可以了。

对初学者而言是难点，启发学生仔细观察得到用定点和弦中点的坐标表示斜率，是一件令学生惊喜的事，记忆比较深刻，对提升学生数学核心素养有意义。

三、求离心率或其取值范围

小结：三种解法最终都归结为“另一个交点的横坐标（或另一解）小于等于a”，利用它“建立不等式关系”求e的范围。

四、定值最值问题

揭示问题的本质，为进一步需要解决的问题指明了方向。

小结：解法三P,Q坐标的设法不是利用椭圆参数方程，而是注意到已知OP⊥OQ，又结论研究对象OP,OQ，想到直线的参数方程，考虑到学生还没有学习直线参数方程或者将来有取消该内容的趋势，故以三角函数定义为出发点，不提“倾斜角”，P,Q以角α,α+π/2上点出现，将OP,OQ分别记作r_1,r₂，易于得到点P,Q坐标，再代入椭圆方程，易于解出r_1,r₂的平方的倒数（用α表示），最后化简得常数结论。

练习：如图，椭圆中心是坐标原点O，焦点在轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P,Q两点，且OP⊥OQ，求椭圆离心率的取值范围。

点评：这个题目记住椭圆的这个性质，结合“d与的不等关系”可以迅速建立a,b,c的齐次关系数消去d²，两边同除以a²即可构建e的不等式进行求解e的范围（如果题目求e的只需要建立齐次a，b，c方程而已!当然能直接获得2a和2c，或者a和c用定义定义得解更好!)

本文根据本人平时教学过程中一些例、习题的处理，深切体会到解析几何就是两个任务，一是给平面曲线赋予方程，二是利用方程研究曲线的性质，所以曲线的定义尤为重要，抓住几何定义、几何特征，进行方程和性质的探讨和应用，数形结合的数学思想尤为突出，时而定性分析，时而定量计算，数中有形，形中有数，题型琳琅满目，我只蜻蜓点水；方法千奇百怪，二级结论堆积如山，我只随心而动，按常规的处理问题的思路方法，充分利用曲线的定义、方程和性质，结合平面几何性质，偶尔使用常用的结论，都能找到常规解法一二三。不必过多渲染二级结论的神奇，否则学生容易本末倒置，总想一步登天，不能脚踏实地；不愿吃苦，害怕大量运算，畏难情绪作怪，在瞻前顾后犹豫不决中浪费了时间，影响了解题的质量。本人认为，解析几何的学习，对学生不仅仅是一个知识的接受和应用，而是在老师正确引领下，学生去大胆探索创新，一个习题考题的攻克，就是一次畅快淋漓的登山，一个阶段完成一个小目标，脚踏实地，一步一个脚印攀登，翻过一座山，刚能喘息停顿，又一个新的任务目标摆在我们面前，哪怕再苦再累，也要咬紧牙关，坚持下去，因为胜利在望，当然需要继续努力，坚持到胜利!所以说，解析几何教学不仅能提高学生的数学素养，也是一个极好的励志教育，方法➕努力＝成功!

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柴淑兰，山西省朔州市朔城区一中数学教师，副高级职称，省学科带头人，区教学能手，学科名师、优秀班主任、师德标兵，从教29年，坚持工作在教学第一线，主持年级教学工作，兼任班主任，工作踏实，教学风格严谨细致，注重基础，追本溯源，管理班级粗中有细游刃有余，深得学生敬重和家长好评。