柴淑兰、邹生书——解答两道双曲线离心率试题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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解答两道双曲线离心率试题

山西省朔州市朔城区一中     柴淑兰

湖北省阳新县高级中学       邹生书

题目1：2020年9月武汉市高三起点质量检测第16题

双曲线E:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,过F作x轴的垂线交E于点A,过F作与E的一条渐近线平行的直线交E于点B，且A,B在x轴的同侧，若∠FAB=30°,则E的离心率为＿＿＿

解：如图，设点A,B都在x轴上方。

题目2：已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过原点的直线交双曲线 C于A,B两点，且∠AFB=120^°,延长AF交双曲线C于点M,若MF=2AF,则双曲线 C的离心率为（     ）

解 :山西省朔州市朔城区一中     柴淑兰   提供

如图，设双曲线左焦点为G,连接AG,BG,MG.

设AG=R，AF=r,由双曲线定义得AG-AF=2a,

即R-r=2a. 又MG-MF=2a,

所以GM=MF+2a=2r+(R-r)= R+r,

易知AGBF为平行四边形，

由∠AFB=120^°,得∠GAM=60^°,

在△AGM中，由余弦定理得

GM²=R²+(3r)²-2 R(3r)cos60^°=( R+r)²

 化简整理得8r=5R,不妨取r=5，R=8，则2a=3,

在△AGF中，由余弦定理得

4c²=R²+r²-2 Rrcos60^°=49,所以2c=7,

于是离心率e=2c/2a=7/3,故选B.

点评：上述两道求双曲线离心率试题从解法看，综合性强，有一定难度，对运算求解能力的要求较高。其中题1解法主要用到直线方程和解方程组等知识；题2的解法综合运用了双曲线的定义和解三角形中的余弦定理等有关知识。

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（20191018——20200618）

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