黄贤锋：与三角交汇 与素养同行 ———点击2019年全国数学高考卷Ⅰ中的三角“元素”

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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与三角交汇 　 与素养同行

 ———点击2019年全国数学高考卷Ⅰ中的三角“元素” 

黄贤锋 (萍乡中学,江西 萍乡 337000) 

      三角函数内容是高考考查的重点、热点内容之 一.笔者认为,高考对三角函数的考查通常分为两 种模式:一种是显性形式,即直接考查三角函数、解 三角形等知识;一种是隐性形式,即将三角函数与 其他知识(如向量、立体几何、解析几何、参数方程 与极坐标等)综合考查. 

      张景中院士指出:数学课程中,三角至关重要. 三角是联系几何与代数的一座桥梁,沟通初等数学 与高等数学的一条通道. 函数、向量、坐标、复数等 许多重要的数学知识与三角有关,大量的实际问题 的解决要用到三角知识[1]. 近几年的高考很好地 佐证了这一观点,一大批以三角函数与其他知识交 汇、渗透,兼具综合性、灵活性的好题出现在各地市 的数学高考卷中.

       这一特点充分展示了三角函数的工具性作用, 与“以能力立意,着力考查知识的综合性和应用 性,在知识的交汇处命题”的高考命题理念相吻 合;与“为学生的可持续发展和终身学习创造条 件”[2]的新课标精神一致. 

      笔者以2019年全国数学高考卷Ⅰ为例(详见 表1与表2),就三角函数与其他知识交汇的考查 作点研究,探究其命题规律、试题特点以及解题策 略,以期对三角函数内容的精准复习、科学备考起 到一点作用. 

1　 与三角函数交汇的统计与分析

评注　 第1)小题有着深厚的三角函数背景, 考查了同角三角函数的基本关系,若学生有这方面 的基础,试题将迎刃而解. 对于 α 范围的挖掘,并 最终去掉 x=1是重要的,要做到每分必争. 第2) 小题利用椭圆的参数方程,通过三角换元,简化运 算,考查了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养, 涉及到的三角函数知识有简单的三角恒等变换以 及正、余弦函数的基本性质.

3　 与三角函数交汇的高考试题特点 

      2019年全国数学高考卷Ⅰ撇除直接考查三角函数的内容外,与三角函数交汇的内容分值为40 分左右.这是非常可观的,必须要引起重视.交汇的 内容涉及解析几何、立体几何、导数、坐标系与参数 方程四大板块.涉及到的三角函数方面的知识点有 诱导公式、同角三角函数的基本关系、简单的三角 恒等变换、余弦定理、正余弦函数的图形与性质、二 倍角公式等. 从文理科对这块知识的考查可以发 现,文科第12题与理科第10题、文科第22题与理 科第22题是一样的;理科第16题是文科第10题 的升级,文科第16题与理科第12题的载体都为三 棱锥,文理科的第20题也有相似的地方.同时在能 力要求方面,理科题明显高于文科题. 值得注意的 是,三角函数与其他知识的交汇有时涉及多个知识 点的交汇,如例1涉及到三角、平面几何、解析几何 等多个知识点. 

4　 两点备考建议 

4.1　 夯实基础,强化应用 

      根据考试大纲对三角函数部分的要求,这部分 共分为13个知识考点,学生应理解三角函数定义, 会推导证明三角函数公式,会对公式进行简单的变 形,能够理解三角函数曲线与曲线 y=A sin(ωx+ φ)的联系,能够熟练地利用正余弦定理解题. 平时 的训练中应充分发挥三角函数的工具性作用,强化 应用三角函数解题的意识. 

4.2　 研究真题,精准施策

      真题是我们掌握高考试题特点的最好素材.由 历年的高考真题可知,与三角函数的交汇不仅局限 于本文所述内容,三角函数还可以很好地与向量、 数列等知识交汇,尤其应该重视利用三角函数解决 生活中的应用问题. 

参　 考　 文　 献 

[1]张景中.重建三角  全局皆活:初中数学课 程结构性改革的一个建议[J]. 数学教学, 2006(10):1-4. 

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程 标准(2017年版)[S].北京:人民教育出版 社,2018:5. ·84· 中学教研(数学) 2020年第2期 万方数据

作者往期部分文章链接：

黄贤锋：一道三角函数题的多解探究

黄贤锋，男，硕士研究生，现就职于江西萍乡中学，中学一级教师。在《数学通讯》《中学教研(数学)》《中学数学教学》等期刊上发表论文20余篇。先后获“第十五届江西省职工职业道德建设先进个人”“萍乡市优秀班主任”“萍乡市教育局优秀共产党员”“萍乡市学科竞赛优秀教练员”等荣誉称号。入选萍乡市教育系统第一批领军人才。2013年获江西省中学数学教师综合素质比赛优质课及综合素质双料一等奖。

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