林明成——妙用均值不等式的八类配凑方法
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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试题分析
利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行配凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种配凑方法。笔者把运用均值不等式的配凑方法概括为八类。
题型一:配凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等于段，变为 “积” 的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数， 配凑定和，求积的最大值。
例题01
数学第六感例题02
例题03
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和” 的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。
例题04
数学第六感例题05
数学第六感评注：有关分式的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“配凑定积” 。
例题06
评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出利用均值不等式的环境。
例题07
评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简捷明了。
例题08
例题09
例题10
例题11
数学第六感通过“1 ” 变换或添项进行配凑，使分母能约去或分子能降次。
例题12
数学第六感例题13
数学第六感例题14
数学第六感
例题15
根据己知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后 一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
例题16
数学第六感
评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。
在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式。
例题17
结束语
本文许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解这种运用等号成立条件的配凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学生思维，培养了学生的数学能力。
转自：数学第六感 本文节选自《中学数学研究》2009年第6期。
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