柴淑兰——直线与圆中的那些最值问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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直线与圆中的那些最值问题

山西省朔州市朔城区一中     柴淑兰

【解法3】【数形结合法】引入角，利用初中平面几何知识，用三角函数表示面积，去研究最值取得的条件，获得斜率，直接写方程【直接法】

【练习二】

阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米欧，欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内两定点距离比值为定值λ(λ>0,λ≠1)的动点的轨迹，已知在△ABC中，sinA=2sinB，且AB=2，则△ABC面积的最大值为（      ）

提示：这三个题动点P的轨迹都与圆有关，揭示了这个本质特征后，剩余问题都好解决了.

【练习三】

【说明】解法一看似简单但容易出错，约束x的范围求解比较麻烦。解法二看似繁琐，但适用范围广，由k的取值范围容易得到x的范围。第一问轨迹判断不准确到位，直接影响第二问，所以应该在直线与圆的教学中把两种方法的来龙去脉彻底搞清楚，为后面的学习扫平障碍。

【总结】所有这些，都属于双变量约束条件下的最值问题，这种问题一般有四种解法，一是代入消元法（注意变量范围的跟踪)、二是数形结合法，三是三角代换法、四是基本不等式法。必修二是继函数图像与性质、向量等有一定数形结合思想方法基础上，进一步研究曲线与方程的基础，体现“数”与“形”相互之间的自然转化和利用，以形助数，以数助形，把代数和几何有机结合起来，线性规划理论、复数几何意义、数列“特殊函数”、三角函数、导数及应用、空间几何中的向量法等，一维、二维和三维，研究曲线（包括直线、点列)、图形（平面的和空间的几何体)，数中有形，形中有数，不仅仅是数学，还有物理等其它学科，体现了古代人类的智慧，世界传统文化的博大精深，数形结合思想是我们进一步进行科学探究取之不尽用之不竭的源泉。通过对这部分内容进行复习汇总，加强对学生在这方面的培养和引领，提高学生的学习能力，为进一步学习圆锥曲线乃至将来的学习与研究打下坚实的基础。

作者文章链接：

柴淑兰，山西省朔州市朔城区一中数学教师，副高级职称，省学科带头人，区教学能手，学科名师、优秀班主任、师德标兵，从教29年，坚持工作在教学第一线，主持年级教学工作，兼任班主任，工作踏实，教学风格严谨细致，注重基础，追本溯源，管理班级粗中有细游刃有余，深得学生敬重和家长好评。

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