彭赛列闭合定理背景下的圆锥曲线内接三角形之内切圆半径问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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彭赛列闭合定理背景下的圆锥曲线内接

三角形之内切圆半径问题

   河北省张家口市    赵彦青  赵永明

浙江温州    陈佳文

广东深圳     杨 俊

   陕西省澄城县庄头中学        魏拴文

  湖北省阳新县高级中学   邹生书

解析：依题意，圆C₂ 圆心位置和半径大小确定，△PAB既是抛物线的内接三角形又是这个圆的外切三角形，且这样的△PAB有无数个，故可以考虑用特殊化方法求解。

△PAB 的一个特殊情形是：点P与原点重合，边AB与x 轴垂直，如图所示。

法1：解析法

  点评：解析法得出的是关于半径的一元三次方程，而几何法得出的是关于半径的一元二次方程。这里几何解法起到了降次化简的作用。

  问题2（由2021年八省联考第7题改编而成）

说明：这个问题是河北省张家口市的赵彦青和赵永明两个老师根据2021年八省联考第7题改编而成的，如果用常规解法求解非常困难。如果不知道本题的命题背景，解答此题就象丈二和尚摸不着头脑。赵彦青老师指出这个问题及问题1的命题背景都是彭赛列闭合定理（文章后面有介绍），根据彭赛列闭合定理，如果圆锥曲线存在一个内接三角形使得某个给定的圆为其内切圆，则该圆锥曲线上存在无数个内接三角形均以这个圆为内切圆。也就说，圆是确定的，满足题意的三角形有无数个。于是，我们可以突破题目条件的束缚，寻找更加特殊的既内接于抛物线又外切于圆的三角形。象问题1一样，显然，最特殊的三角形就是：一个顶点是抛物顶点，其对边与x轴垂直的等腰三角形。于是有如下解法：

解：用几何法

根据彭赛列闭合定理，取特殊△ABC,使点C 与原点重合，边AB与x 轴垂直，如图所示。

  设A(m,n)，则m=2-r，又点A在抛物线上，

解析：根据彭赛列闭合定理，取特殊△ABC,使点C为椭圆的右顶点，对边AB与x轴垂直，如图所示。

设A(m,n)，则m=2-r，又点A在椭圆上，将其坐标代入椭圆方程得

_{下附：彭赛列闭合定理(来源于网络)}

平面上给定两条圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样（切、内外接）性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同。

最简明的彭赛列闭合定理表示为：一个三角形外接于一个圆，内切一个圆，则外接圆可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述的同一个。

彭赛列闭合定理展示了基于圆锥曲线关系上的一种“群结构”（group structure）关系——“彭赛列结构”（Poncelet type），表示为：有一个满一种结构的关系存在，则所有都满足这种结构的关系都存在，可以扩展为更为高维的概念，彭赛列闭合定理只是这种结构关系的其中一种。

1746年，英国数学家Chapple发现了这样一个性质：设两圆圆心距d，大圆半径R，小圆半径r，在满足公式d²=R²—2Rr（即后来被熟知的平面几何欧拉定理公式）时，以R为外接圆半径，以r 为内切圆半径的三角形有无穷多个，这是第一个已知的“彭赛列结构”。

1813年，拿破仑对俄战争后，彭赛列被囚禁在俄罗斯的萨拉托夫，并在监狱中发现了这样一个里程碑级的射影性质，他的第一个证明是一个某种意义上分析式证明。

1822年彭赛列在其出版的“Traitédes propriétés projectives des figures”中给出了另一个纯粹的几何、综合性的证明。

1828年，雅可比（Jacobi）对椭圆函数利用“积分定理”（addition theorem）完成了该定理的另一种证明，从本质上来说，“积分定理”等价于彭赛列定理，其均揭示了椭圆曲线中存在的一种“群结构”性质。

证明：当封闭多边形边数n=3时

n=3彭赛列闭合定理证明

△ABC内接一条圆锥曲线，内切一条圆锥曲线，△DEF外接于外锥线，其DE、DF与内锥线相切，则EF也与内锥线相切。

证明：根据帕斯卡定理知EC∩BF∩MN=P（DE∩AB=M，DF∩AC=N），则观察彩色凹六边形EMBCNF，由布列安桑定理（逆）知EF与内锥线相切，得证。

当封闭多边形边数n=4时

n=4彭赛列闭合定理证明

四边形ABCD外接一圆锥曲线，内切一圆锥曲线，则有四边形A'B'C'D'同样内接及外切这两条圆锥曲线。

证明：在异于题设所在平面的空间上取一投影点，将右图（左上）中的AB、CD和AD、BC分别射影为一对平行线（右图右上），则四边形ABCD为平行四边形，且根据对称性知此时两条圆锥曲线被射影为中心重合的形式，其中心为平行四边形中心O，再将其外圆锥曲线仿射为圆（右图下），因圆内接平行四边形都为矩形，故利用蒙日圆性质知存在矩形A'B'C'D'满足这样的切接关系，逆射影回原题设，得证。

形式多样的彭赛列闭合定理

双曲线形式

公众号邹生书数学

2020年9月至2020年12月

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