杨 俊：一文帮你弄懂定角定弦模型

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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一文帮你弄懂定角定弦模型

广东深圳   杨 俊

问题：在△ABC中,∠A=60°,BC=2.

① 求△ABC周长的最值；

② 求△ABC面积的最值。

    这个模型就是我们所谓的定角定弦模型,也就是在一个三角形中一个角和它的对边保持不变,在BC边固定的同时,虽然∠A的大小不变,但顶点A的位置可以发生变化,那么顶点A的位置如何变化可以保持∠A的大小不变呢？由初中平面几何知识可知:同弧所对的圆周角不变,故顶点A可以在△ABC的外接圆的BC这段弦所对的优弧上运动（不包括B,C两点）。

    掌握了这个知识点,第二问就立刻可以得到解决,很明显,当高线AD过圆心时有最大的高,即h≤R+d其中d为圆心到弦BC的距离。

    当然,我们也可以使用高中知识来解决这个面积的最大值问题。

    由余弦定理可得

    那周长的最大值如何求得呢？从图像上一下不容易确定取到最大值的位置,那么我们通过计算来求得该最值。

由正弦定理可得

    可知,当△ABC为等边三角形时有最大周长6.由于B>0°,故周长最小值为4,即点A无限接近点B或者点C时有周长的最小值4,但注意这个最小值是取不到的。

总结:对于定角定弦模型,当等腰三角形时有最大的周长和面积。

    那么,不掌握这个背景,直接使用不等式的知识能否解决问题呢？可以的。

    故周长的最大值为6，当且仅当b=c即等腰的时候取等号。

    那这个b+c的最大值有没有初等解法可以解决呢？可以的。

    我们延长BA至点D,使AD=AC,连接DC,易得∠D=30°,很明显，当∠DCB=90°即BD为直径时有b+c最大值，此时b+c=4,即b+c的最大值为4.

    那么,这里的全部内容你都搞清楚了吗？如果真的搞懂了,那么遇到下面这道题。

在△ABC中,b²+c²-bc=4.

①求△ABC周长的最值；

②求△ABC面积的最值。

    你能识别出这本质就是∠A=60°,BC=2的定角定弦模型吗？

公众号邹生书数学

2020年9月至2020年12月

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