不要拿到题目就开始算 先画个图形看一看

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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不要拿到题目就开始算

 先画个图形看一看

湖北省阳新县高级中学     邹生书

      用代数方法研究曲线的几何性质是解析几何的主要内容之一，解析几何试题是考查运算能力的良好载体。但我们不能单一的认为解析几何就是考查运算的，同时还考查其它的数学能力和数学素养，只是运算显得更为突出。不少高中同学一拿到解析几何的题目就开始算，这是不可取的，应该先根据题意画个图形看一看，数形结合，以形助数。如果图形画得好，有时并不需要计算，从图形中用眼睛就可以看出答案来。显然，能看出答案肯定比算出答案要更高一筹。

      画图的目的是通过几何直观来帮助解题，根据问题解决的需要，有时我们需要准确地画出图形，这样的图形我们称之为示意图；有时并不需要那么准确画出，只需要画出的图形能反映图形之间的相对位置关系就可以了，甚至连坐标轴都不画出来，这样的图形我们称之为意思图；有时我们只需要画出与解决问题需要的点和线，而将问题解决无关或可有可无的点和线隐藏起来不把它们画出来，这样的图形我们称之为关键图。本文笔者结合具体实例谈谈示意图、意思图和关键图在处理解析几何中的应用，以期抛砖引玉。

一、画示意图

      示意图要求准确地画出图形，图形越准确就越能从图形中得出数量关系和位置关系，有时从图形中就能得出你所要的答案。下面前几个例子，我们将拿来就算不画图的解法与先画图再数形结合的解法进行比较。

解法2（数形结合）

由y＝kx＋2k＋1得y＝k(x＋2)＋1，

由此知直线恒过定点P(-2,1),

又直线y＝－0.5x＋2与两坐标轴的交点分别为A(4,0),B(0,2),

画出这两条直线如图所示：

易求得直线PA的斜率为-1/6, 直线PB的斜率为1/2,

故实数k的取值范围是(-1/6,1/2).

例2：若不同的四点A(5,0),B(－1,0),

C(－3,3),D(a,3)共圆，则a的值是________．

解法1（拿来就算）

设四点共圆的方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，

解法2（数形结合）

如图，因为圆经过A(5,0)，B(－1,0)两点，

所以圆心在线段AB的垂直平分线x=2上，

即圆关于平分线x=2对称，

又点C(－3,3),D(a,3)在圆上且纵坐标相等，

所以C,D两点关于关于平分线x=2对称，

于是有-3+a=4,得a=7.

例3(2020·保定质检)

已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，

点Q在圆C：x²＋y²－4x－2y＝0上，

则|PA|＋|PQ|的最小值是________．

解法1（拿来就算）

因为圆C：x²＋y²－4x－2y＝0，

故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝√5的圆．

设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，

故A′(－4,－2)．

连接A′C交圆C于Q，由对称性可知

|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|

≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2√5.

故|PA|＋|PQ|的最小值是2.

解法2（数形结合）

因为圆C：x²＋y²－4x－2y＝0，

即(x-2)²＋(y-1)²＝5,

故圆心C(2,1)，半径r＝√5．

设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A^‘，

由图形可知A′(－4,－2)．

连接A′C交圆C于Q，由对称性可知

|PA|＋|PQ|＝|A^’P|＋|PQ|≥|A^’Q|≥|A^’O|＝2√5.

故|PA|＋|PQ|的最小值是2√5.

例4(2020年12月28日开考的“大课改大数据大测评”2021届高三联合测评数学试题的第8题)

解析（数形结合，借助图形直观得简解）

二、画个意思图，突显位置关系

画准确图形需要时间精力，有时我们并不需要准确地画出图形，而只需要根据题意画出它们的相对位置关系就可以了，这样的图形我们称之为意思图，即意思到位了就可以了。

例5  过点P(0,1)作直线l，使它被直线l₁：2x＋y－8＝0和l₂：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．

解：依题意画意思图如图所示。

设l₁与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，

点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l₂上，

代入l₂的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，

即点A(4,0)在直线l上，

所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.

例6：从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x²＋y²＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________．

解法1圆C的方程可化为(x＋2)²＋(y＋2)²＝1，

圆心为C(－2，－2)，半径r＝1.

依题意画意思图如图所示。

设直线l上任意一点P(x，y)，

则由x＋y＝1，得y＝1－x.

三、画关键图形

将图形中与解决问题关系不大或不影响解题的部分图形隐去不画，只画出与解决问题必要的关系密切的部分图形。

例7与圆C₁：(x＋3)²＋y²＝1外切，且与圆C₂：(x－3)²＋y²＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．

解：在平面直角坐标系内画出重要的三个点C₁(-3,0), C₂(3,0)和点P，并将它们连接起来，没有必要把已知的两个圆画出来。

设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，

因为圆C₁与圆P外切，有|PC₁|＝r＋1，

因为圆C₂与圆P内切，故有|PC₂|＝9－r.

所以|PC₁|＋|PC₂|＝10>6=|C₁C₂|，

故点P是以C₁(－3,0)，C₂(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，

解：画出至关重要的三个点F_1,F₂和点P如图所示。

作F₂D⊥PF₁,则PF₂=F₁F₂=2 c, F₂D=2a,则PD=2b,从而F₁D=2b,

由双曲线定义得PF₁-PF₂=2a,即4b-2c=2a,

得2b-a=c,则(2b-a)²=c²=a²+b²,得4a=3b,

由此可得双曲线的渐近线的方程为4x±3y=0.

最后我们来看一下画关键图形在处理一道立体几何的例子。

例9 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA,侧棱AA₁⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，当球O的表面积取得最小值为4π时，该三棱柱的侧面积为＿＿＿＿

解：如图，G为等边△ABC的中心，AD为高，

设GD=r, 则AG=2r,BD=√3r.设球的半径为R，OG=h,

则有R²=4r²+h²≥4rh.

当球O的表面积取得最小值为4π时，

4πR²≥4π，得R≥1,所以有4rh=1，

三棱柱的侧面积为

S=3BC×2OG=6√3r×2h=12√3rh=3√3.

公众号邹生书数学

2020年9月至2020年12月

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