邹生书——圆锥曲线极点极线背景下高三百校联合测评选择题解法研讨

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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圆锥曲线极点极线背景下高三百校联合

测评选择题解法研讨

湖北省阳新县高级中学     邹生书

这是2020年12月28日开考的“大课改大数据大测评”2021届高三联合测评数学试题的第8题，也就单项选择题的最后一题，是单选题中的压轴题，难度较大。下面从知识和方法给出本题的几种思路与解法，并揭示命题背景，与读者朋友交流分享。

思路一：间接法——用特殊化和极限化方法求解

于是解决问题的关键是要求出点N的横坐标，而点N是直线AP与BQ的交点，故可通过联立两直线方程求得。

      说明：上述解法由湖北省阳新县高级中学陈兵老师提供。

  解法2:用极限方法求解

当P,Q两点重合时，直线AP和BQ的交点N和P,Q三点同为一点，此时直线MN与椭圆相切于N.

法1：判别式法

设切线MN的方程为x=my-4,将其代入椭圆方程整理得

法2：直接运用课本结论椭圆在某点处的切线方程求解

点评：本解法从问题的极限状态入手，想象丰富，思想解放，解法大胆创新。极限思想，别有洞天。用切线方程，简化了运算。

思路二：直接法——把小题当作大题来做

解法3（小题大做，直接法硬算求解）

于是解决问题的关键是要求出点N的横坐标，而点N，而直线AP与BQ的交点，故可通过联立两直线方程求得。

点评：本解法是韦达定理非对称式问题的求解，如若不能从两根之和与两根之积中得出两者间的关系，则解法会因此而夭折。请记住：上帝给你关上一扇门口必定会为你打开一扇窗。本解法运算量大，方法独特，对于一道选择题来说，显然是小题大做，费时耗力。但小题大做，逻辑推理运算求解，可以得出一般性的结论，证明我们的猜想和上述解法是正确的。

思路三：用高等几何极点与极线的性质求解

解法4：用高等几何极点与极线的性质求解

因为A,B,Q,P是椭圆上四点，AB与PQ相交于点M，AP与BQ相交于点N，由圆锥曲线极点与极线的性质知，点N在点M(-4,0)关于椭圆对应的极线x=-1上，所以点N的坐标为(-1,n).

点评：用高等几何极点与极线的性质求解，登高望远，层高临下，体现高观点，低运算。圆锥曲线极点极线的有关知识和结论是本题命题的源头背景。

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2020年9月至2020年11月

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