张成凯——极点极线在高考中的命题趋势分析

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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极点极线在高考中的命题趋势分析

济南市历城第二中学  张成凯

 【摘要】极点极线”是高等几何（射影几何）中的内容，如果掌握了极点极线的相关知识，我们就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题中不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程即可.

【关键词】极点极线、高考圆锥曲线、全国卷、北京卷.

  极点与极线是高等几何中的重要概念，不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，但是由于极点与极线是圆锥曲线圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.在近年来考查愈来愈频繁 ，尤其是北京卷和全国卷 。

  我们应该了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.

    极点与极线的代数定义

极点与极线作法：如图，P是不在圆锥曲线上的点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH交于M，则直线MN为点P对应的极线．

若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线．

由图1可知，同理PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线．MNP称为自极三点形．若连接MN交圆锥曲线于点A，B，则PA，PB恰为圆锥曲线的两条切线．

事实上，图1也给出了两切线交点P对应的极线的一种作法．

结论1:（1）当P在圆锥曲线上时，则极线是曲线在P点处的切线；

（2）当P在外时，则极线是曲线从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；

（3）当P在内时，则极线是曲线过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．

结论2设AB，CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦，弦端点连线AC，BD交于点M，则动点M的轨迹是圆锥曲线的相应准线．

注：直线AD，BC交点的轨迹也是圆锥曲线的准线.当焦点弦AB，CD重合时，直线AC，BD退化为圆锥曲线的两条切线．

推论设AB是圆锥曲线的动焦点弦，过弦端点A，B分别作圆锥曲线的切线，则两切线交点的轨迹是圆锥曲线的准线．

一、极点极线原理以过定点或角相等形式呈现,此类题最简单考查形式,考查频率较高.

三、点P在一条与坐标轴平行的直线上运动，且向长轴或短轴端点引直线，则另外两个交点连线过定点.

【点评】本题考查背景极点极线，与例2考查角度完全一致，因此2020全国1圆锥曲线解答题，是2010江苏圆锥曲线解答试题的改编.

四、圆锥曲线极线上的任意一点M与极点P的连线交圆锥曲线于A,B两点，

【点评】本题考查背景极点极线，通过关于横轴作出对称点，结合极点极线性质，可知与P,Q关于横轴对称，故比值为1.

通过分析可以看出，依托极点极线背景命制圆锥曲线试题是数学高考命题者所热衷的一种命题方式，尤其是全国卷和北京卷，命题越来越灵活越来越广泛，希望大家对此类问题引起重视，加以研究.正如克莱因所说"挑选好一个确定的研究对象，锲而不舍。你可能永远达不到终点, 但是一路上准可以发现一些有趣的东西。"

参考文献:《高等几何》

张成凯，高级教师，济南市高中数学中心组成员，济南教师队伍建设专家人选，济南市优秀班主任、济南市历城区高中数学学科带头人、教学能手、优秀教师，济南市历城二中学科教学专家、领军教师、备课组长、学校督学，高考阅卷题组长，济南大学硕士研究生兼职导师

公众号邹生书数学

2020年9月至2020年11月

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