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​洪 一平、邹生书——2021年广东四校联考理科第10题的解法再探讨

洪 一平、邹生书 邹生书数学 2022-08-05

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邹生书,男,1962年12月出生,本科学历,理学士学位,中学数学高级教师,黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月,在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等,二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。


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2021年广东四校联考理科第10题

的解法再探讨

浙江省平阳中学       洪一平

湖北省阳新县高级中学       邹生书



解析:先用二元均值不等链判断选项A,B,D的正误。


对于选项D.

若存在a, b,使得直线ax+by=1与圆x2+y2=4相切,

则圆x2+y2=4的圆心到直线ax+by=1的距离等于半径


对于选项C,我们有如下两种思路和相应解法。

 

思路一:根据多选题的特点,可以直接判断选项C正确。


上面我们用二元均值不等式链判断了选项A,D错误,选项B正确。根据多选题的特点,正确选项至少有两项,故选项C必定正确。于是正确的选项是:B,C.


点评:四项满分5分的多选题,正确选项至少为两项,最多为四项。全部选对得5分,部分选对原来包括2020新高考山东卷为3分,八省联考调整为为2分,这个调整较为合理。正确选项个数设置为两个和三个较为合理,这样每个多选题得分有三个档次:5分,3分和0分。若正确选项设为四个,则得分只有5分和2分两个档次,并且考生只要选填部分项都可以得2分,拉不开分数距离,分不也能力水平思维层次,建议不要设置四项都正确的多选题。在一些大联考中目前还没有见到全部正确的多选题,但在一些测试卷中时有发生,偶然有一道还以理解,若在一份试卷中出多了就不正常了。编者曾经历过四个多选题竟然有两个题目四个选项都正确。

 

思路二:用数学知识证明选项C是正确的。


对于选项C的判断是本题的一个难点。参考答案和杨志明老师都通过构造函数来进行处理的。下面给出洪一平老师构造函数的另一个新解法,再给出一个似对实错的均值不等式解法和错解分析。

 

a>0,b>0,a+b=1,可设a=0.5+x, b=0.5-x, -0.5<x<0.5,

f(x)=ln(0.5+x)ln(0.5-x), 则f(x)是偶函数,



选项C用构造函数法来处理确实还是有一定难度的,根据选项结构特点,有不少人希望运用均值不等进行处理,似乎看到了胜利的曙光,结果却是以失败而告终。


下面给出一个用均值不等式处理的似对实错的解法,以期前事不忘后事之师。

 

错解分析上述解法看是正确实则错误这个错解较为隐蔽其错误在于最后两步。


 

小结:

用多选题之特点判断选项C正确,是一种智慧;

构造函数判断选项C正确,那是一种能力。

下附参考答案与杨志明老师的解法:

来源:杨志明数学角


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2020年9月至2020年12月

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