邹生书——2008年高考江苏卷理科第14题的解法与背景变式及应用

Original 邹生书邹生书数学 2022-08-05

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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2008年高考江苏卷理科第14题的

解法与背景 变式及应用

湖北省阳新县高级中学 邹生书

题目1是2008年高考江苏卷理科第14题，题目2是编者使用的2021新高考大一轮复讲义课时精练中的一道题目，原高考是填空题，资料改成了选择题。一般情形下，不等式恒成立问题都是求a的取值范围，而这里却是求a的值，这意味着a的值可通过不等式“夹逼”得来。本题设问新颖别具一格，问题解决具有挑战性。本题小巧意新，背景深远，解法灵活多样，是一道难得的优质高考题，本文将从解法、背景、命题变式和应用等方面作些拓展，供大家参考。

1．解法

解法1 赋值夹逼法

点评本解法为赋值法，且赋值效率很高，只要对x分别赋值-1和1/2，列两个不等式就夹逼出a的值，解法精炼简洁。通过尝试可知，x无论赋多少个值列出多少个不等式，如果x没有赋值-1和1/2都逼不出a=4。为什么会是这样？下面的解法4将给我们答案。

解法2 参数分类讨论法

点评本解法将不等式恒成立问题转化为求函数最小值问题，借助导数结合对参数a进行分类讨论求解，这是此类问题的常见解法。本解法若与赋值法联手则减少对a的分类讨论甚至避免讨论，如x在区间端点赋值得

则上述解法直接进入情形（3）的第②种情形求解，避免分类讨论，缩短解题长度，节约解题时间。

解法3 分离参数+自变量分类讨论法

综上所述，所求实数a的值为4。

点评本解法以分离参数为主以对自变量分类讨论为辅，将原不等式恒成立问题转化为两个新的不等式恒成立问题，继而转化为两个新的函数最值问题，最后通过求交集求出实数的值。分离参数、化归转化和分类讨论是本解法的主旋律。

解法4 分离函数+数形结合法

3．变式

另外，我们可从上述所得到的两个不等式为背景，模仿这道高考题的命题手法进行命题尝试，如下三个变式题与这道高考题具异曲同工之效。