设计灵感丨探索建筑世界里的数学逻辑

UniDesignLab 2022-04-21

The following article is from ImpactStudio Author Harley

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我们每天都在建筑中使用数学来解决问题。例如，用数学来计算建筑场地或办公空间的面积；用数学帮助我们确定填洞所需的砾石或土壤的体积；用数学计算载荷和跨度来设计安全的建筑结构和桥梁。建造方面，数学帮助我们确定最佳材料。形态上，我们又可以用它来实现功能和美学优势。通过运用黄金分割等其他数学原理，将数学应用到我们的建筑设计中，可以达到和谐与平衡。从古至今，数学原理的应用可以产生美丽而持久的建筑，并通过了时间的考验。所以数学在设计中起着至关重要的作用，也是几何模型、解构主义和参数化的设计基础。本期小编将带大家从数学的角度出发全新的看待建筑设计~

"Without mathematics there is no art.（没有数学就没有艺术可言。）"

——Luca Pacioli, De divina proportione, 1509

数学和美是有关系的，因此建筑师通常会将数学、科学和艺术结合起来，创造出有吸引力的功能性结构。这方面的一个典型例子就是利用黄金分割的原理来达到和谐比例。黄金分割是数学原理的一个公式，它被认为能产生令人满意的比例。黄金分割的例子在自然界中广泛存在，包括人体。多年来，许多著名的艺术家和建筑师将黄金分割应用到他们的作品中，如达·芬奇和米开朗基罗，用黄金分割来定义他们作品的尺寸和比例。

人体的完美比例——维特鲁威人（达芬奇），图片来源：网络

帕台农神庙就受到了数学原理的影响，它是由建筑师伊克蒂诺斯和卡尔利克拉特斯设计的。神庙有两个房间来存放雅典娜女神的黄金和象牙雕像以及她的财宝。游客从外面可以观看雕像和神庙。它精致的外观因其比例和谐而闻名，并影响了几代设计师。

帕台农神庙黄金分割区，图片来源：网络

数学是建筑的一个重要工具，建筑随着数学的变化而变化。这种关系最明显的例子是2D和3D计算机辅助设计程序，它们是现代建筑实践的基础，几乎完全基于数学原理。

Minifie Nixon设计的维多利亚学院艺术中心表达了一个既漂亮又有用的数学概念，叫做冯洛诺伊图（Voronoi diagram），也就是泰森多边形。每个冯洛诺伊图由一组点定义。想象一下，一个三岁的孩子用钢笔在一张纸上画了许多点（离散点）。对于每一个点，你可以找到一组白色的点比其他钢笔画的点更接近它，我们称这组点为“细胞”。如果画出所有“细胞”的边界，形成多个多边形，就会得到一个冯洛诺伊图。假设只有有限的钢笔点，那这些图形都是由直线定义的。

冯洛诺伊图和艺术中心，图片来源：http://www.rushwright.com/public-facilities/vca-centre-for-ideas/

扎哈·哈迪德在转向建筑之前学习数学，因此她追求支离破碎的几何图形和多重视角，对于建筑和数学逻辑之间的逻辑关系了解的十分清晰。她的作品被描述为新未来主义，以其高度复杂和富有挑战性的设计而闻名，无论是字面上还是隐喻上，这些设计都突破了界限。

“我的父母向我灌输了对发现的热情，他们从未区分科学和创造力。我们会玩数学问题，就像我们用笔和纸画画一样——数学就像素描。”

——扎哈·哈迪德

哈迪德对分形的兴趣显而易见，图片来源：网络

创造性建筑和现代建筑技术的结合创造了令人印象深刻的建筑形体。其中离散微分几何也在这个领域发挥了作用。奥地利科学基金会FWF进行的一个数学项目的结果显示了数学基础研究是如何帮助建筑师实现惊人的建筑概念的。

FWF的一个项目展示了离散微分几何的建筑潜力，图片来源：https://www.autocad-magazin.de/architektur-freiformstrukturen-einfacher-berechnen/

下图展馆设计的基本单元是谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle），这是一个纯粹的分形形式，提供了结构的稳定性和技术的坚固性。主体结构框架采用竹桁架，在竹桁架上编织分形设计的竹网格。最后，丙烯酸玻璃材料被固定在格子上。利用谢尔宾斯基三角的基本单位，基本什么都不用就能获得结构稳定性。

图片来源：http://www.bamboocompetition.com/spages/1267-10.html

从上面的例子中可以看出，数学原理的应用可以产生一些非常惊人的架构，建筑师的作品反而会更加具有引人注目的和谐度与平衡感。这也是为什么很早之前的古建筑也会用通过数学模型来体现出舒适的外观。接下来我们来看看在一些学术方案中，数学之美是如何被设计者巧妙的体现出来的~

莫比乌斯桥

Hakes Associates Architects

Hakes Associates设计的莫比乌斯桥是一座时尚而性感的人行桥，与行人对话，且不会干扰到周围的景色。莫比乌斯桥的设计是由Buro Happold合作开发的，是Hakes Associates风格的典型例子，灵感来自无尽的莫比乌斯环路。行人和自行车过河是一个动态的、连续的系结结构，它在物理和结构上独立于两个河岸，以避免可能破坏邻近建筑和遗址上的考古遗迹等。

桥梁的几何形状经过场地的约束和精心选择，产生了一个有效的结构解决方案。主跨度由受压的钢拱组成，桥面由直径较小的吊索悬挂。桥面部分作为横梁跨越剩余的距离，并在拱门和桥面之间有一个连接。建筑赋予了这座桥雕塑的特征，使它可以成为一个地标和数学艺术再生的象征。

该案例图片来源：https://medium.com/crypto-nyc/crypto-nyc-hosts-jessica-angel-6343a0b400a0

建筑中的线性系统

Michael Hansmeyer

几个世纪以来，建筑师一直受到自然形态和几何图形的启发。他们的设计受到了结构、比例、颜色、图案和质地的影响。建筑师已经将这些影响融入到主要是经验的过程中。只是在过去的几十年里，人们才更好地理解了自然形式的许多潜在的逻辑、数学。20世纪60年代末，生物学家阿里斯蒂德·林登迈尔提出了一种字符串重写算法，这种算法可以极其轻松地模拟简化的植物及其生长过程。这个理论现在被称为线性系统（Linear system）。

模块化线性系统桁架

这个项目研究L-system是否能在建筑领域打开可能性，以及应用于建筑形式的生产方式和额外功能。上述的线性系统算法可以被扩展以促进建筑几何的产生。图形命令被用来控制三维空间的运动。通过将可变参数直接引入图形语言，可以获得更大的几何自由度。最后，该系统被扩展到环境交互，这样就可以根据当地条件执行不同的字符串。

参数线性系统

随机线性系统

模块化线性系统

代替固定的替换规则，可以引入随机规则，使得字母被具有特定概率的第一个字符串替换，否则被另一个字符串替换。事实上，任何数量的替换场景都是可以想象的。由此产生的系统产生了由替换过程中的随机数引起的不规则分支结构。通过允许这些随机数在系统每次运行时也波动，可以产生设计的许多不同排列。

线性系统逻辑特别适合模块化系统的生产。由于不是字符串的每个字母都需要对应一个图形指令，所以可以引入一些字母，这些字母可以简单地被其他字母组所代替。例如，在一个系统中a意味着前进c意味着向右转，一个新的字母d可以定义为创建一个正方形：d=acacaca。并且线性系统逻辑不仅可以用来创建组件的空间组织，还可以用来区分和表达这些组件。通过在组件定义中引入参数，组件变得灵活并适应当地条件。

该案例图片来源：http://www.michael-hansmeyer.com/l-systems

线性系统可以是一个强大的设计工具。最少的输入可以产生空间上复杂的输出。字符串重写逻辑特别适合包含分支、递归和模块化的表单。通过扩展逻辑以包括独立的参数，人们不仅可以获得对产生形式的高度控制，还可以潜在地变得自适应。因此，形状的结构参数可以与空间位置、方位，甚至与已经生产的组件联系起来。

四面体摩天大楼

Nathan Lee Colkitt, Gregory Marx De Peña, Michael Rocco Sablone

四面体摩天大楼位于圣地亚哥不断增长的城市中心。正四面体，通常简称为“四面体”，是由四个多面体顶点、六个多面体边和四个等边三角形面组成的柏拉图立体。它也是一个均匀多面体。这个四面体有7个对称轴。它是一个有等边三角形底和边的角锥体。

四面体激发了伟大的市政工程壮举，甚至可以在郊区日常住宅的斜屋顶上感受到。这是将圣地亚哥市中心的遗产共管公寓大楼带入生活的最佳选择。每个“四面体”是一个公寓单元。每个单元都是相互平衡的，就像在生活和城市结构中一样，创造一个可控的环境并减少侧向力。

中心广场在这些天空中被重新诠释。它不是一个由独立单元组成的塔楼，而是由21个单元组成的塔楼，通过纯粹的、古老的几何结构，加强了一个中心社区，同时为每个人提供了独立的视角。这是一座不仅供业主和居民享用的塔，也是一座供整个社区享用的塔。通过一个简单的问题，对建筑、环境、文化和城市肌理做出了优雅的回应。

该案例图片来源：evolo 2006 Skyscraper Competition

无尽虚拟中的多维塔

Margot Krasojevic

该塔位于纽约曼哈顿炮台公园的一个码头边缘。建筑方案包括一个位于悬浮表面内的不断增加的画廊空间。这些计划并没有规定塔的感知存在，反映的几何图形扭曲了表面模式的迭代(从感知中脱离物理)，影响了个人参与和占有这个空间的方式。物理双曲几何和它们的分形反射都模拟了一种描述塔项目的幻觉。

维度描述了物质世界，这些维度中的参数改变了我们的感知。这使得笛卡儿几何学和格式塔心理学能够适应我们周围的非欧几里德空间。就塔而言，由于表面渲染和反射，感知空间被转换并不断变形，其边界和物理过渡是非静态的，因此创建了一系列动态的维度。反射面的豪斯多夫维数大于其拓扑维数，目的是在面积保持有限的情况下呈现无限长的无限数量的几何迭代。然而，表面反射太不规则，很难用传统的欧几里得几何语言来描述。这两个标准都是分形作为复杂几何对象的特征。

分形维数保留了跨尺度的自相似性，只受上下文的限制。把它作为塔的设计标准的工具，是为了将欧几里德几何和空间的感知和占有从期望的约束中分离出来，并作为垂直画廊和展览类型的类比。因此，塔项目试图呈现一种投射的物理性，重申建筑维度的有形性正随着我们的客观世界而扩展。

该案例图片来源：https://www.e-architect.com/concept/fractal-geometry-tower

从上述这些案例来看，数学对建筑的影响比以往任何时候都要大，随着设计结构的方法变得越来越复杂，计算也将变得越来越复杂。因为这些分形和参数化设计是建筑对于数学的幻想和证明。不容忽视的是，基于数学算法的建筑的唯一限制是物理和材料的限制，但随着3D打印和其他先进建筑技术的出现，令人惊讶的复杂建筑世界将变得越来越大。

建筑总是用数学来描述它想要建造的结构。随着数学和我们现在所依赖的计算机的发展，我们可以表达更多的东西，可以建造的建筑类型也在扩展。我们可以利用对数学思想和思维方式的深入了解，超越数学作为表达工具、设计工具以及生成工具，甚至可以将数学作为灵感来源，利用建筑环境以令人惊讶和复杂的方式表达深刻的数学思想。相信在数学和建筑相互交替的世界里，会有一片不一样的领域等着大家来实现独特的设计方案~

参考资料：

[1] Hakes Associates Architects

[2] Austrian Science Fund

[3] evolo 2006 Skyscraper Competition

[4] www.e-architect.com

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