可测映射的复合运算及其它准备工作

本文为系列文章 “可测函数的结构” 的第七篇。该系列文章将尝试换种方式来讲述可测函数的基础知识，使之更好地理解和掌握。

系列文章：

前置文章：

所需知识：数列极限，夹迫性定理

关于可测映射，我们曾经在系列文章《可测映射的简单判别法》里提到一个问题：

问题

为什么可测映射值域上的集合系也要求是  域，以至于映射的值域也必须是一个可测空间？

今天把这个问题处理了，为后续介绍测度论的典型方法做好准备。

1. 复合运算后仍可测

根据系列文章《一次因"随机变量"开启的数学之旅》可以知道，可测映射有一个“与定义域相关的可测空间”。在这基础上，可测映射其实还必须有一个“与值域相关的集合系”，这样才能有“对应的原像”，而这些原像也才能落在“与定义域相关的可测空间”里，从而说明映射是可测的。

至于要求可测映射的这个“与值域相关的集合系”必须是  域（从而也是可测空间），则是为了复合运算而设定的：这样的值域才能作为另一个可测映射的定义域。

定理1

已知  是可测空间  到  的可测映射，而  是可测空间  到  的可测映射；对于每个  ，定义映射  ：

则  是可测空间  到  的可测映射。

证明

要证明映射  是可测的，则需要证明集合系  中任意子集的原像都在  里。对于任意的集合  ，根据  的定义有：

由原像的概念知，  等价于  ，于是有：

继续由原像的概念知，  等价于  ，于是有：

由  可测知  ，再结合  可测知  ，从而有：

由集合  的任意性可知，  是可测空间  到  的可测映射，证毕。

定理说明，两个可测映射复合之后仍然是可测映射，那任意有限个可测映射进行复合之后（当然，前提它们的定义域和值域允许进行复合运算），也仍然会是可测映射。

再进一步看个细节。由于  是可测空间  到  的可测映射映射，可知  。虽然与映射  定义域相关的集合系是  ，但由于受值域相关集合系  限制，映射  不一定需要完整的集合系  ，而仅需要  就能保证  的可测性。所以有：

细节1

如果  是可测空间  到  的可测映射，那么  也是可测空间  到  的可测映射。

还要再额外提个细节，之前还真没注意到，一不小心就会在证明里犯的错误：

细节2

即使  是可测空间  到  的可测映射，集合  也不一定是可测空间  里的可测集，即  不一定成立。

2. 随机变量的极限

我们之前已经在系列文章《随机变量的极限运算》详细讲过：

结论1

对于任意从  到  的可测函数序列  ，它的上、下极限函数：

   和  

总是存在的，而且也是可测空间  上的可测函数。

上述结论只提到  的上、下极限总是存在，没有提及  。那  的存在性是否与其上、下极限有关呢？

对于任意的  ，由系列文章《随机变量的极限运算》关于上、下极限的结论可知：

结论2

数列  单调不增，数列  单调不降，且：

而且还容易知道，对于任意正整数  总有：

此时引入本文的第2个主题：

定理2

对于任意从  到  的可测函数序列  ，对  ，对应数列  的极限存在，当且仅当  ，其中：

此时有对于  总有：

即  的极限函数  仅在集合  上有意义。

2.1 证明定理2的充分性

对于任意的  ，在求数列  的极限时，只要看到式(1)，都会联想到大家非常熟悉的夹迫性定理：

夹迫性定理

已知数列  、  和  ，且对于任意正整数  总有：

且有：

则  存在且等于  。

目前要证明定理2的充分条件：已知  ，即

由于  也满足式(1)，根据夹迫性定理可知数列  的极限存在：

这样就完成充分性证明。

2.2 证明定理2的必要性

接下来证明定理2的必要条件：已知  且数列  的极限存在，不妨设：

根据式(1)以及数列极限的性质可知：

而目标是证明：

即证明  。用反证法，反设：

此时总有  或  成立。接下来讨论  的情况。取  ，由式(4)知，存在正整数  ，当  时总有：

由结论2的  单调不降，结合式(3)知，对于任意的  ：

与式(6)矛盾，所以反设不成立，就有：

必要性证毕。综合2.1节与2.2节，定理2证毕。

3. 小结

在准备测度论典型方法的文章时，发现篇幅实在有限，只能先把一些准备工作单独挪出来，于是有了这篇文章。这篇文章包含两个主题：

  可测映射经过复合运算之后仍然是可测的

  可测函数极限存在的集合是可测集

在这我就不奢求文章的整体性了，只愿把内容讲清楚，为后续的重点做好准备。