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顶着新冠疫情的风险,2021年中国数学奥林匹克(简称CMO)于12.19-12.25于福建师大附中举行,全国数学竞赛高手云集。只有少数几个省市自治区因为疫情原因,无法现场参与,只能申请线上考试。今天是考试的第一天,三个题目的第一个题目是几何题。本文写一下本人的思考过程和解答。首先根据题意画出准确图形,AB=a给定,动点C满足BC=b,则C在以B为圆心b为半径的圆上运动,D是以A为圆心a为半径的圆和以C为圆心b为半径的两个圆的另一个交点,更简单的描述方式是D为B关于AC的对称点。ABCD显然是一个筝形,AC平分交∠BAD,∠BCD,从而其内心为∠CBA的角平分线和AC的交点E。此点几乎和D无关,从而可以消去点D。得到下图本题相当于在△ABC中,AB=a给定,BC=b,BE为角平分线,求E的轨迹。由角平分线定理AE/EC=a/b,即AE/AC=a/(a+b),这显然是一个位似变换,即E为将C沿着AC方向缩短为a/(a+b),C在圆上,故E也在一个圆上,其圆心F在AB上且满足AF/AB=a/(a+b),即EF//CB.由角平分线得FE=FB,从而得到E在以F为圆心FB为半径的圆上运动。这就基本解决了本题。还有哪些遗留问题呢?要注意的是求E的轨迹,其含义是充要条件,即既要考虑完备性,不能遗漏;还要考虑纯粹性,不能多余。我们上面只是证明了点E在圆F上,相当于证明了完备性,下面还要考虑纯粹性,即是否圆上每个点都满足条件?仔细阅读原题,要求ABCD是一个非退化的凸四边形。则ABC不共线,从而点B要剔除掉。由对称性,我们不妨只考虑上半弧,让C向靠近A方向运动时,可能BCD或者DAB共线,以后就会退化为凹四边形。如下图所示:看来还要分a=b,ab三种情况讨论,a=b时,ABCD为菱形,只有A、B两端不满足。ab时,DCB共线时∠AFE'=∠ABC'=arccos(b/a),以后ABCD为凹四边形,都不满足,故圆弧E'B(不包括两端)即为所求。综上,令E为ABCD内切圆圆心,F在线段AB上AF/AB=a/(a+b),定义x满足a