2021格雷厄姆·多德奖：配置优化方法“大统一”

Original CFA北京协会北京金融分析师协会 2022-07-04

* The Financial Analysts Journal 创刊于1945年，是CFA Institute主办的投资管理领域专业期刊。2020年，该刊位于社会科学引文索引(SSCI)二区。

2021格雷厄姆·多德奖：配置优化方法“大统一”

Enhanced Portfolio Optimization

Lasse Heje Pedersen, Abhilash Babu,CFA, and Ari Levine

推荐语

格雷厄姆·多德奖(Graham and Dodd Awards of Excellence)由FAJ期刊创设于1960年，以纪念本杰明·格雷厄姆(Benjamin Graham)和戴维·多德(David L. Dodd)在金融分析领域的杰出贡献。该奖项每年从当年FAJ期刊发表论文中进行一次评选，2021年格雷厄姆·多德奖日前刚刚揭晓，其最高奖(Top Award)授予了这篇由全球第二大对冲基金——AQR资本合伙人Lasse Heje Pedersen及其团队执笔的Enhanced Portfolio Optimization。

作为少有的“学术研究+量化投资”双轮驱动型对冲基金公司，AQR通过总结实践经验，为市场贡献了诸多优质的学术成果。

本文提出的“增强组合优化”方法(Enhanced Portfolio Optimization，以下简称“EPO”方法)主要有以下三点开创性的成果：

第一，参数焦点的创新。传统的均值方差模型(MVO方法)对输入参数(期望收益和协方差矩阵)非常敏感，而其又难以预测。EPO方法则在BL模型（Black and Litterman， 1992）关注对期望收益参数进行收缩的思想基础上，利用贝叶斯分析框架，结合投资者的主观判断，通过提高定价能力强的资产权重、缩减定价能力较弱的资产权重的调整方法，产生了更好的优化效果。本质上， MVO方法关注参数预测，BL模型侧重于收缩预期收益，EPO方法提供了关注收缩预期风险的新思路。

第二，模型方法的泛化。本文将各类资产配置优化方法统一在了一个大框架之下，投资者可以通过调整收缩协方差矩阵的权重系数w，从而得到传统的均值方差模型、因子模型以及本文的EPO配置方法。由于MVO方法会导致低估某些资产的风险从而对其进行高权重配置，为解决该问题，本文利用投资者已有的先验信念、可获取的市场信息求得组合条件期望收益，通过对协方差矩阵赋予w得收缩权重，得到了调整风险和收益的EPO最优组合，即传统理论最优组合和锚定组合(anchor portfolio)的加权。当w=0时，为传统的MVO组合；当w=1时为锚定投资组合。

第三，模型应用的包容。本文延续了BL模型的思路，投资者可以采用先验信念a、市场信息s以及依据经验获得的收缩系数w来获得优化权重，从而使得运用不同的投资哲学（决定论、非决定论）和不同的市场分析方法（量化、基本面）的机构，都可以采用这种优化方法。从投资实践来看，无论是通过对各类市场因子的发展方向进行推演而寻求投资机会的决定论投资者（以瑞·达利欧、巴菲特为代表），或是更加关注因投资者错误认知导致的市场预期与经济现实之间缺乏对应而产生的投资机会的非决定论投资者（以索罗斯为代表），均可以基于自身投资哲学选择参数，进而获得相应的优化权重。此外，EPO方法同样适用于基于数据挖掘进行量化交易的投资者，以及通过对上市公司进行深入研究覆盖进行选股操作的基本面投资者，在EPO的框架下，投资仅需调整模型初始参数，即可获得符合自身投资理念的最优权重组合。

总体而言，EPO方法可以帮助投资者更好的理解金融市场实践中运用的各种投资方法。例如，在EPO的框架下，我们可以将桥水基金的全天候策略（All weather）看作是不考虑资产的二阶相关性(w=1)、以等风险权重作为信念a（a=1/σ）、使用市场基本面信息作为信号s产生的一类投资方法。全文读来，笔者似能体会EPO方法隐含着的雄心：它正在驱使资产配置优化的方法向“大统一”的方向更加靠近。

（感谢白雪石,CFA、沈非若,CFA、燕鑫,PhD、郭亮,PhD为理解本文的思想精华提供了重要的指导意见。）

01 研究背景

在投资组合配置过程中，投资者不断探寻能够使风险和预期收益达到平衡的方法，均值方差模型的提出为其指明了一条可研究的道路。然而从真实数据表现来看，依据标准的均值方差模型进行资产配置优化的方法表现不尽如人意，这也使得众多投资者不再对组合进行优化，转而研究其他方向，例如基于因子的策略。在这一背景下，不得不对资产组合优化方法提出思考：为何均值方差会失效？是否有更好的方法可以对风险、相关性和预期收益中所包含的信息进行估计？如果有，这种方法能提高多少性能呢？本文在贝叶斯框架下，对均值方差模型进行优化，从而解决上述问题。

02 理论方法

本文发现基于传统的均值方差模型对组合在优化时可能会因为误差导致低估某些资产的风险，进而增加其权重，最终导致整体投资业绩的不佳。

（1）为了识别这些风险，本文利用主成分分析法，通过计算组合资产的方差-协方差矩阵，进而计算该矩阵的特征值并依据大小进行排序，从而识别出“问题资产“。首先假设设投资者未来的财富方程：

其中W0为投资者初始资产，s为投资组合期望收益，γ为风险厌恶系数，x为各资产配置权重。

对方程求一阶导，得出其最优配置：

随后将资产组合进行主成分空间转换，从而得到主成分空间中的期望收益为：

进而带入财富方程中，求得在主成分空间中的组合最优配置策略：

其中D为资产组合的相关系数矩阵所对应的特征值矩阵，对上式子进行分解，可以得出：

由此可见，由于投资者在资产配置过程中往往会受到噪音的干扰，进而低估某些波动性非常小的资产，从而产生较大的Sharp Ratio，并且低的估计风险也会导致在配置时赋予较大的权重。此外也会高估某些风险资产的波动性，从而对其赋予较低的权重。

（2）发现问题后，本文的调整方式有两种：

a: EPOs（Simple EPO），通过简单的调整组合资产的方差-协方差矩阵，从而改变组合的配置权重，也就是通过增加问题资产（波动性极低）的波动性估计，降低定价资产（波动性高）的波动性估计。具体来看：

最终得到简化版的优化资产组合权重：

b: EPOa （Anchor EPO），本文在贝叶斯的分析框架下，假设投资者拥有一个先验的信念，可以通过观察市场中的信号s，其中s=μ+ε，μ=γΣa+η, η~N(0,τΣ)，其中γΣa为资产平均收益，可以理解为投资者以锚定组合a为最优组合确定的期望收益（本文在实证中分别取a=1/N和a=1/σ，即等权重加权和等风险加权）。贝叶斯投资者可以依据信号估计出资产的期望收益，即E(μ|s)，其中本文将资产的动量作为信号s（大类资产用时间序列动量，股票资产用横截面动量）。通过解出服从正态分布随机变量的条件期望，可以解出资产的期望收益：

最终可以得出最优的投资组合权重：

与Simple EPO的处理方式类似，最终可以得出：

显然，当ω=0，w=1/γ Σ^(-1) s，就是传统的MVO结果；当ω=1，则可以实现锚定的资产组合配置。

03 实证结果

（1）数据及方法

数据来源：参考Moskowitz et al.（2012），全球类资产组合数据选取了1970年-2018年55种流动性期货和远期合约；股权类资产组合数据则来自于Kenneth French网站1927年到2018年的49种市值加权的行业组合。其中为保证有足够的信息来确定EPO的收缩参数，我们的回测时间均是从初始样本后推15年开始的。

优化方法：除Equity 6和Equity 7分别使用等权重加权和等风险加权作为锚定资产组合配置EPO^a（Anchor EPO）外，其余投资组合均使用EPO^s（Simple EPO）。

先验信号：大类资产组合使用时间序列动量（TSMOM），股票资产组合使用横截面动量（XSMOM）。

表1 基于不同资产配置方法的投资组合数据来源

（2）全球资产业绩表现

通过与锚定投资组合（基于时间序列动量因子构建，TSMOM）进行比较，本文发现基于EPO方法进行优化的投资组合其夏普比率（Sharp Ratio）表现更为优异。具体比较来看，在优化前，仅波动率加权的时间序列因子组合的夏普比率达到1.09，其余投资组合均在0.76及以下。在进行了简单的EPO优化后，投资组合的样本外夏普比率达到了1.24。此外，在考虑了收缩参数（w）后，投资组合的夏普比率也会随之发生改变，当w在25%和90%之间进行调整的时候，组合下夏普比率明显提高。

表2 优化后的TSMOM投资组合夏普比率

为了更清楚的观测时间序列动量投资组合（TSMOM）随EPO优化中的收缩参数w的变化路径，图1展示了随参数调整的组合夏普比率的变化。结果发现，在大部分范围下，EPO优化后的结果表现均较为优异，这也证明了该方法的稳健性。此外，在构建投资组合时， Global 2 （Shrunk）和Global 3（RMT）在优化时分别对相关性矩阵进行了缩减和基于随机矩阵理论进行了调整，可以发现相较于未调整的投资组合Global1（Standard）,调整后的组合在w=0时(标准的均值方差优化法，MVO)的夏普比率有了显著的提升。然而值得注意的是，调整后的结果不影响曲线的峰值，这说明调整相关矩阵对于MVO具有较大的意义，但是在调整相关矩阵后，即便更换调整方法，其影响效果也不再明显。

图1 随收缩参数调整的TSMOM投资组合表现

（3）股票投资组合的业绩表现

进一步的文章发现，在控制了行业动量和Fama五因子后，该投资组合的Alpha依旧显著为正，且除了投资组合Equity 6在统计上为10%显著外，其余投资组合均在5%水平上具有统计意义，这是因为对于Equity 6和Equity 7 而言，组合的收益向锚定组合靠拢，因此超额阿尔法较低。然而依然可以说明的是，利用本文所提出的优化方法所构建的投资组合，其业绩表现较为强劲，且这一优异的表现无法用标准的因子进行解释。

表4 股票投资组合的业绩表现

04 结论

本文在传统的均值-方差模型的基础上，引入贝叶斯框架进行分析，构建了一种形式简单的优化方法，相较于均值方差模型而言，基于该优化模型所构建的投资组合，由于考虑了投资者在估计风险和预期收益时的噪声，往往能够获得较为不错的收益表现。更有趣的是，本文所推导出的投资组合优化的一般公式统一了看似无关的文献，揭开了以往看似难以理解的优化方法的神秘面纱，为投资者构建投资组合提供了支持。

综述：秦秀婷，PhD

审校：白雪石，CFA

原文链接：

Financial Analyst Journal Volumn 77 Issue 2

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