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#Author: 李松泽的文章专栏
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今天，我们为各位学者引荐一篇专门讲解家庭经济学的综述文章。无论你是人口经济学家，还是社会学家，亦或是普通群体，下面这篇“Family Economics Writ Large”都是非常值得研读的经典文章。
关于下方文字内容，作者：李松泽，中央财经大学中国经济与管理研究院，通信邮箱：964916858@qq.com家庭经济学议题及理论
宏观经济学的主题是通过加总个体行为来分析整体经济的运行，它通常被用来解释各类时间趋势——这其中最明显的当属家庭的转变。这种种趋势也引发了政策制定者对相关政策的思考。而被卢卡斯称为“政策实验室”的经济学模型有助于我们更好地理解这些问题。第二部分构建了关于已婚女性劳动参与的简单模型，我们用它分析为何已婚女性劳动供给会增加。进一步地，我们将分析女性的生育决策以及对家庭收入征税（个体或夫妻收入）的影响。第三部分构建了关于结婚与离婚的模型。我们用这个框架来解释结婚率的大幅下降与离婚率的上升，同时还会解释“门当户对”现象的出现。第四部分用来分析由单亲母亲抚养的孩子所面临的困境。第五部分讨论的是社会规范的转变，我们将重点关注的是人们对于已婚女性劳动参与以及婚前性行为的态度。这些转变将由模型内生地决定。第六部分是关于生育率模型的综述。我们将回答为何生育率在发达国家下降，在发展中国家上升。这实际上是Gary Becker关于“质量-数量”权衡的著名理论。我们还将关注发达国家的婴儿潮以及战时生育率的大幅下降。第七部分将展示数据呈现出的典型事实如何与我们的宏观经济模型相匹配。这样做是因为再利用经济模型进行政策分析时，我们必须将其数量化。我们将利用各种估计技术来将经济模型与典型事实（包括数据的各阶矩以及非结构性回归分析的结果）相匹配。这一部分首先构建了一个简单的家庭生产模型用以解释已婚女性劳动参与的长期变化趋势。假设经济体由若干对夫妇构成的家庭组成。男性的市场劳动供给为固定值，女性的市场劳动供给由家庭来决定。家庭的效用由市场商品c的消费以及家庭商品n的消费来决定：其中，家庭商品n的生产由中间产品d以及家庭劳动供给决定：
\sigma 影响中间产品d与家庭劳务之间的替代程度\frac{1}{1-\sigma}。我们假设0<\sigma<1，即二者之间的替代弹性很高（大于1）。
通过求解，我们可以得到如下结论：已婚女性的劳动供给随着中间产品价格以及工资性别差异的降低而增加。
但是，经验证据表明，经济发展水平与女性劳动供给呈“U型”关系。为了解释这一现象，我们在基准模型中引入家庭维护带来的固定成本。这时，家庭的优化问题变为：
在基准模型中，只有夫妻工资的相对水平会影响女性的劳动供给决策；而一旦引入了家庭维护的固定成本（假设丈夫的工作收入能够承担一部分成本），那么工资总体水平的提高将会降低女性的劳动供给，这是因为工资上升带来的收入效应要强于替代效应。与此同时，正如基准模型所展示的，中间产品价格以及工资性别差异的下降会使得女性劳动供给增加。这样，两种相反作用的相对重要性变化最终使得劳动供给呈现“U型”。随着更多的女性进入劳动力市场，她们参与劳动的“生命周期模式”也发生了改变。近年的证据表明，不同于以往更多女性选择在育龄前参与劳动的情况，今天女性劳动参与的生命周期模式呈现出明显的“倒U形”。为了解释这一变化，作者首先构建了一个简单的生命周期模型以刻画女性在广延边际上的劳动供给。
经济体仍然由若干对夫妻组成。家庭集体决策妻子是否参与工作——如果参与，妻子必须工作固定的时长。家庭关心的是市场商品和每位成员闲暇的消费，效用函数为：其中\lambda代表夫妻对于妻子在家中花费时间的评价，不同的家庭其数值不同。记其累计分布函数为。妻子参与工作一方面能为家庭带来更高的收入从而增加消费，另一方面也会因为消费的闲暇减少而带来效用损失。因此，存在一个临界值，当高于这个临界值时妻子选择待在家中，否则参与工作。其中，任何有助于增进夫妻共同参与工作带来的收益的变化都会使\lambda的临界值上升。如下图所示：
现在，假设每个家庭存活两期，其中第二期夫妻都会参与工作，而在第一期每个家庭需要决定妻子是否去工作。这里需要考虑两个新的因素：第一，每个家庭在第一期都会拥有一个孩子，所有的女性（无论工作与否）都需要耗费自己固定的闲暇来照顾孩子，此外，如果女性第一期选择工作，家庭还需支付工作期间请人照顾孩子的费用；第二，女性的工作经验能够带来回报，即如果其在第一期参与工作的话，第二期的收入会更高。
同样，依然存在一个\lambda的临界值。于是有如下结论：
命题3（已婚女性劳动参与）已婚女性劳动参与随着（1）工作经验回报的增加而增加，（2）随着照料孩子耗费的个人时间以及托管孩子费用的增加而减少。可见，当照料孩子的成本下降、工作经验带来的回报上升时，更多的女性会选择在育龄期间参与工作。接下来，我们利用上述框架来讨论家庭的生育决策。现在假设两期夫妇双方都会参与工作，每个家庭可以有一个孩子，他们需要决定是在第一期还是第二期进行生育。孩子的童年持续一期，这会增加家庭当期的效用——而这个值应家庭而异，服从特定的分布。另一方面，假设生育能力会随着夫妻年龄的上升而降低，即如果选择在第一期生育的话则一定成功，而在第二期的话则成功的概率为π。此外，如果选择在第一生育，女性将无法获得工作经验回报。我们能够得到“从孩子那里获得的喜悦”的临界值，高于这个临界值的家庭会在第一期生育。进而我们能够得到如下结论：命题4（生育时间）晚育与早育的比例随着生殖能力和工作经验的上升而上升。孩子出生的总数随着工作经验回报的增加而减少。利用上述的基准模型，我们可以讨论有关财政政策（所得税和育儿补贴）对于已婚女性劳动参与的影响。接下来，文章考虑了更一般的情况，即家庭最大化的是夫妻各自效用的加权平均值。同时，引入纳什讨价还价的解，从而探究影响效用权重的因素。这样便可解释为什么在男性女性收入差距降低的同时，丈夫的闲暇相对于妻子而言并没有明显的增加——妻子不参与婚姻合作的威胁提高（更高的单身收入）会使得妻子的效用函数在家庭层面加总时获得更高的权重。l 与50年前相比，现在成年人结婚的比例要小得多。粗结婚率下降的同时，粗离婚率飙升。l 在这样的婚姻趋势下，美国的家庭生活安排也有了很大的变化。结婚的家庭越来越少，而独居者（有或没有孩子）和与非配偶同居的比例在明显上升。
l 婚姻的门当户对趋势越来越明显。可以通过如下回归来检验：其中，y=1960,1970,1980,1990,2000,2005；t的取值为{1970,1980,1990,2000,2005}。
\gamma_t代表丈夫的教育水平对妻子教育水平相较于基期的额外影响。常数\alpha和\theta_t代表固定效应。结果如下图所示：我们建模时强调两方面的结婚动机：第一，爱与陪伴；第二，经济动机——市场产品和非市场产品的消费存在规模经济。此外，一些公共政策也会产生影响。我们依然假设，即中间产品和家庭劳务有很强的替代性。效用函数中的b刻画的是婚姻带来的额外幸福（可正可负，服从累积分布）从而我们能够求解家庭最大化决策问题，给定家庭生产函数以及市场消费约束：其中，的分母部分代表已婚家庭的可支配时间（除去家庭维护的固定成本），分子代表单身家庭的可支配收入。因而整个式子反应的是已婚家庭相较于单身家庭的时间富足程度，这是因为结婚的家庭存在规模经济效应——每位成员将在家庭维护上耗费更少的时间。(i) 与单身家庭相比，已婚家庭将其调整后的时间禀赋的很大一部分花在市场商品的消费上。(ii)& (iii) 相对于市场商品，已婚家庭在家庭投入方面的支出低于单身家庭，即：(iv) 在支付了固定的家庭维持费之后，已婚家庭的人均市场消费实际上高于单身家庭。
(v) 由于婚姻带来的规模经济效益，已婚家庭比单身家庭的状况更好，至少在经济方面上是这样。（S代表单身家庭的间接效用函数；M代表已婚家庭去除婚姻幸福加成后的间接效用函数）有趣的是，这个结果意味着一对情侣可能会出于经济因素考虑而踏入一段不幸福（b<0）的婚姻。如下的引理表明，上述模型有助于解释自二十世纪五十年代以来结婚率的下降：引理2（结婚率的下降）随着家庭生产中间品价格的下降以及工资的上升，已婚人口的比例会下降。当婚姻幸福加成发生改变时，一对夫妇可能会选择离婚，其考量因素与情侣结婚相类似，因此如果引入离婚成本\delta，这个模型也有助于解释离婚率的上升：引理3（离婚率的上升）随着离婚成本和家庭维护成本的下降、工资的上升，离婚率会上升。“门当户对”意味着男性和女性群体分别都在某些维度存在差异。这一部分假设男性只在市场工作，而女性则需要在市场和家庭之间分配时间。根据市场生产力将男性分为两类；根据市场生产力和家庭生产力将女性分为四类。将每种性别的总数正规化为1：，且假设。为了简化分析，假设婚姻决策仅以经济因素作为依据。从设定可以看出，女性劳动力在市场和家庭中的价值依赖于她们的工作时长。接下来，文章基于经典的Gale-Shapley匹配算法描述了婚姻匹配的过程。如下图所示，我们按照婚配效用由高到低的顺序来将所有的匹配进行排序：有两种因素能够解释门当户对的婚配增加：首先，家庭的中技术进步。第二，市场的技术进步或对女性歧视的减少（有助于她们从事市场工作）。这些变化会使女性调整工作时间的分配，进而改变她们在不同市场的生产力，这导致上图中的排序重新洗牌。当然，如果考虑到女性在家庭和市场的生产力呈正相关的话，那么上述排序的改变会相对缓和一些。
尽管现在很少有人单纯出于经济考虑而开始一段婚姻，或者在一段不幸的婚姻中坚守。但是，有充分的证据表明，在单亲家庭中成长的孩子成功的可能性要比家庭完整的低：经验证据表明，上述结果的出现可能有两种影响因素：一方面，单亲家庭的收入要更低；另一方面，单亲家庭照料孩子的时间更少。
假设根据生产力的不同，分别存在两类男性和女性。在婚姻市场上，男女性根据自身的生产力进行排序，从而最终匹配的双方来自相同的社会经济阶层。匹配后，他们将根据婚姻幸福冲击的实现值（b或-b）来决定是否结婚。无论结婚与否，女性都会生育一个男孩和一个女孩。如果夫妻分开，两个孩子都将由母亲来抚养。同时，假设一个成年人的生产力由他年轻时人力资本的投入决定，而这取决于其扶养人的决策。如果家庭决定对孩子进行教育投入，那么他将以更高的概率拥有更高的生产力。已婚家庭的效用函数为：，第一项代表家庭消费带来的效用，第二项代表孩子的成功（有生产力刻画）带给家长的满足，第三项为婚姻幸福冲击。单亲母亲的效用函数为：，单身男士的效用函数为：（由于不抚养孩子，所以假设他不关心后代是否成功）家庭对于孩子教育投入的决策受两方面影响：一方面，投入教育意味着孩子更有可能成功，这会增加家庭效用；另一方面，投入教育也使得家庭消费减少，从而降低效用。因此，用e来代表是否投入子女教育，单亲母亲的决策准则为：可以看到，由于已婚家庭更加富裕，因此更有可能投资子女教育。
现在，考虑每个人生存两期（第一期为孩子，第二期为成年人）的世代交叠模型。其中等式右边刻画的是童年期间导致低生产力的三种可能情形。
这一部分将家庭结构、文化以及社会制度刻画为经济环境的方程。随着经济的变化，他们也会发生变化，且三者的变化会相互影响。作者构建了一个刻画女性在工作场所争取权利的典型模型。经济体由若干个已婚家庭构成，且每个家庭抚养两个孩子。在一个家庭中，丈夫将其时间全部花费在市场工作上，而妻子则要在家庭劳务、照顾孩子和市场工作三方面来分配时间。如果女性在市场上参加工作，则其工资水平为，其中r=0意味着女性不会到市场上工作，而则表明女性能够参与工作，但工资水平与男性存在差异。假设劳动是不可分的：一个母亲必须在家务工作上花费固定的时间；且如果她参与市场工作，那么也必须工作固定的时长。家庭的效用函数为： 其中第一项为消费；第二项中的q代表孩子的“质量”，满足（t表示母亲照料孩子的时间，t=1-h或1-h-l），\lambda代表父母对其的重视程度，服从[0,1]上的均匀分布；第三项中q代表社会中孩子平均质量，\eta代表家庭对别人家孩子质量的关心程度。可见，工作女性的比例为，它是女权r的函数。显然，r=0时，所有女性都不会参与市场工作。我们得到如下引理：引理4（已婚女性的劳动力参与）随着女性权利的提升、家庭必要劳动时间的减少社会中女性参与工作的比例会上升。这一比例不受社会中孩子的平均质量影响。事实上，女权r与孩子的质量q存在相互影响。经济环境正是通过这一渠道来影响女性权利。假设现在所有家庭可以为一项允许女性参与工作的法律投票：如果投票通过，那么女性能够工作；不通过则被禁止工作。只有当50%的家庭投票支持时，这项法律才能通过。显然，起决定性作用的是的中间家庭：如果他们是否投支持票，意味着该法律能否通过。如果投支持票，那么女性能够参与工作，中间家庭的效用为：如果投反对票，那么女性不被允许参加工作，中间家庭的效用为：定理5（女性权利）如果社会对女性家庭劳务时间的要求低且女性市场工作的价值高，那么女性权利更有可能得到保障。反之，如果社会对于孩子的质量重视程度较高，那么女权则不容易实现。上述定理意味着技术的进步（更少的家庭劳务时间和更高的劳动市场价值）有助于增进女性权利。这一部分展示了避孕技术的发展对于社会文化的影响，尤其是对于婚前性行为的态度。考虑一个十几岁女孩对于是否进行婚前性行为的决策。我们假设她会理性地计算这一行动的成本与收益。收益由其力比多水平l来决定，其服从[0,1]上的均匀分布。而成本则为怀孕的可能——早孕将会导致女孩更难接受良好的教育、获得满意的工作以及在婚姻市场上找到合适的伴侣。我们将婚前性行为的经济成本设定为没有婚前生育和进行婚前生育的女孩成年后实现的效用之差。并且，早孕女孩将会产生羞愧感s。用π来代表避孕技术，进而（1-π）表示避孕失败（早孕）的可能。所以，决定是否进行婚前性行为的力比多临界值为:（它表示性的满足正好与可能早孕的成本相等）引理5（婚前性行为）随着避孕失败率、早育带来的羞愧感以及婚前生育的经济成本的降低的下降，进行婚前性行为的少女比例会上升。此外，经验证据表明社会经济背景更高的女性参与婚前性行为的可能性更低。我们假设少女早孕带来的羞愧感由父母对其的教育来决定。也就是说，在模型中我们假设父母通过选择羞愧感s来最小化其女儿婚前生育的可能性。父母进行性教育的成本函数为：假设父母不了解女儿的力比多水平，因此他们认为其发生婚前生育的可能性为。
引理6（父母性教育）随着避孕失败的可能性以及对女儿婚前生育的失望水平的增高，他们会对女儿进行更高强度的性教育。除此之外，教会和政府也希望尽可能减少青少年婚前性行为。有宗教信仰的少女有可能选择节制；政府希望降低对未婚母亲的福利开支。我们假设教会能够通过宗教教化来决定父母对于女儿婚前生育的失望水平δ，具体而言，教会的决策目标是通过选择教化水平来最小化婚前生育的比例与教化成本的总和：引理7（宗教教化）随着避孕失败的可能性增加以及教化成本的较低，宗教教化的总量会增加。命题6（社会变迁）随着避孕失败率的下降，宗教教化会下降，这使得家长由于对于婚前性行为的失望水平降低而对减少对女儿的性教育力度，这些因素都会使得婚前性行为增加，对其的反对也会减少。* 自十九世纪以来，世界多国都开始进入“人口转型期”：从高生育率、高死亡率转变到低生育率、低死亡率。l 以美国为代表的发达国家在二十世纪中期都经历了“婴儿潮”。假设经济有若干个家庭组成。家庭中丈夫与妻子同龄，且生存两期。每一期丈夫都将全部时间花在市场工作上，而妻子则需要在工作和照料孩子之间分配时间。家庭的效用函数为：。其中c和c’代表消费；k和k’代表孩子的数目，考虑到孩子死亡的可能性，我们设k’=sk，s代表存活率；q代表孩子的平均质量。家庭的目标是给定预算约束，通过选择每一期的消费、第一期生育孩子的数量以及孩子的品质来最大化终生效用。此时，技术进步可以通过如下渠道影响家庭的决策：首先，技术进步能改变丈夫和妻子的生产力；其次，它也能影响照料孩子所需的资源。
命题7（丈夫的收入与生育）当丈夫的生产力提高时，家庭的生育会增加。评注1（战争与生育）战争带来的的男性死亡率使得家庭的预期收入下降，进而减少生育。命题8（妻子的收入与生育）考虑如下两种情况：第一，照料孩子只需要商品的投入而无需花费时间——此时随着妻子收入的上升，生育会增加；第二，照料孩子只需要投入时间而不需要商品投入——此时随着妻子收入的上升，如果消费边际效用的减速不大于消费本身的增速，那么生育会下降，否则，变动方向取决于效用函数具体的形状。评注2（工资性别差异与生育）给定男性工资不变，命题8等价于工资性别差异对生育的影响。命题9（总体收入水平与生育）考虑如下两种情况：第一，照料孩子只需要商品的投入而无需花费时间——此时丈夫与妻子工资成比例的上升会增加生育；第二，照料孩子只需要投入时间而不需要商品投入——此时丈夫与妻子工资成比例的上升对于生育的影响有三种可能：如果收入效应与替代效应相抵，那么生育保持不变；如果收入效应占主导，生育会增加；如果替代效应占主导，生育会下降。命题10（家庭技术与生育）照料孩子所需的时间与物质成本的降低会提高生育。等式右边表示的是生育带来的成本：随着孩子存活率的上升，这一成本会上升。
等式左边表示的则是生育带来的收益，但是存活率的上升对其影响是不明确的：一方面，存活率的上升能使家庭在第二期有更多的效用产生，而另一方面，更多的孩子也会降低家庭的边际效用——这两种因素谁占主导取决于V(·)的具体形式。我们有如下命题：命题11（儿童死亡率的影响）如果关于s是不增的，那么随着存活率的上升，家庭会减少生育（k），但存活孩子的数目（sk）也会上升。为了简化分析，我们考虑只有一期的静态模型，并且我们不再对丈夫和妻子作区分。假设家庭效用函数的形式为：。同时假设孩子需要θ的时间陪伴，并且其质量q由物质投入e决定：。这些弹性将决定家庭面对工资增长时如何调整对消费、生育和教育的支出。
命题12（生产力以及质与量的权衡）家庭生产力w，生育率k，以及对于孩子质量的花费e/w之间的关系如下：生产力的提高至少通过两种渠道导致生育率降低：一是生育与质量之间的替代，而是生育与消费之间的替代。这两种机制在观测上并不是等价的。通过数据观测c/w与e/w的行为，我们能够识别具体是哪一种渠道在起作用。我们假设家长关注的是其子女未来的收入。因此，我们也可以将Q(e)解释为孩子的人力资本，这意味着在下一期（成人后）他的收入将是gwQ(e)。此时家庭的效用函数变为：可以看出这和上一节的质与量权衡模型存在如下几点不同：
首先，在关于人力资本的模型中，父母工资的上升除了通过影响消费的边际效用而改变教育投入的边际成本之外，还会通过影响孩子未来的收入水平而改变教育投入的边际收益。其次，生产力的增长率g也会对生育决策产生影响。一方面，更高的收入增长率意味着给定其他因素不变，孩子未来的收入水平会更高，这会降低对于孩子未来收入的边际效用。另一方面，更高的收入增长率也意味着孩子每一单位的人力资本都将获得更高的回报，这又会提高教育投入的边际收益。本部分将通过分析美国的“婴儿潮”来展示如何利用与家庭相关的宏观模型回答定量问题。具体而言，我们关注的是家庭部门的技术进步如何促进了婴儿潮的爆发。考虑第六部分关于生育的单期简化模型。家庭的效用函数为：有两种技术可供家庭抚养孩子，它们在时间成本和价格上存在差异。老技术的价格为0但时间成本高，而新技术则取价格e但时间成本低。用数对来表示技术。有理由认为收入w更高的家庭更倾向于选择新技术。接下来我们将考虑家庭间的收入差异。
由于无法获取家庭层面的数据，文章将模型与美国的县级截面数据相匹配。首先，为了使模型产生县内和跨县的异质性，我们假设j县个体i的收入满足：；同时，i县的平均收入水平满足：。其次，我们需要考虑两期的数据。第一期为20世纪30年代中期，对应于婴儿潮前美国最低的总体生育率水平；第二期为20世纪50年代后期，对应于婴儿潮的顶峰。具体而言，生于1932年的女性的总体生育率要比生于1907年的总体生育率高28%，前者平均在1959年生育，而后者则在1934年。假设工资水平w每年提高2%，新技术的价格e每年降低2%，且新技术的时间成本为老技术的0.5倍。我们通过下面的未加权最小距离估计来获得模型的参数：其中，是6x1维向量，代表理论模型的有关矩同其对应的实证估计之间的差值。间接的统计推断被纳入到估计过程中。参数估计的结果为：可以看到，我们的理论模型能够复制现实中观测到的婴儿潮——这一现象背后的驱动因素为家庭部门的技术进步，即节省家庭劳务时间的新技术的价格下降，进而导致家庭生育增加（根据命题10）。
需要注意的是，上述的估计参数看上去是命题10相悖的——因为采纳新技术对于生育率的回归系数为负。但是，并不能就此否定理论模型，因为事实证明其能对历史结果作出很好的拟合。Koopmans（1947）指出，解读非结构模型的估计系数时要十分谨慎。一方面，我们的理论是基于家庭构建的，但估计时使用的则是县级层面的数据。另一方面，技术采纳、生育率和收入实际上都是内生变量。虽然这些因素并不会影响上述估计的间接推断过程，但是影响对于估计系数的解读。根据模型的设定，家庭间存在收入差距，而高收入家庭生育率较低，并且更容易采纳较为昂贵的新技术。这样一来，如果首先采纳新技术的是高收入家庭，那么技术采纳对于生育率的估计系数（在县级层面）就可能为负值——这是因为即便采纳新技术的家庭生育率提高了，其增速依然比不采纳技术的（低收入）家庭低。本文构建的一系列模型展示了现代宏观经济学文献如何处理与家庭相关的决策问题。经济建模为如下现象提供了很好的解释：（1）越来越多的女性参与劳动力市场；（2）结婚率大幅下降；（3）门当户对的婚姻越来越多；（4）在单亲家长照料下长大的孩子的相关问题；（5）婴儿潮。同时，作者还指出了家庭经济学接下来的几个重要议题：如何评估与家庭相关的种种政策？
孩子的偏好是如何形成的？
现有模型能否解释发展中国家的典型事实？
拓展性阅读
关于一些计量方法的合辑，各位学者可以参看如下文章：①“实证研究中用到的200篇文章, 社科学者常备toolkit”、②实证文章写作常用到的50篇名家经验帖, 学者必读系列、③过去10年AER上关于中国主题的Articles专辑、④AEA公布2017-19年度最受关注的十大研究话题, 给你的选题方向，⑤2020年中文Top期刊重点选题方向, 写论文就写这些。后面，咱们又引荐了①使用CFPS, CHFS, CHNS数据实证研究的精选文章专辑！，②这40个微观数据库够你博士毕业了, 反正凭着这些库成了教授，③Python, Stata, R软件史上最全快捷键合辑！，④关于(模糊)断点回归设计的100篇精选Articles专辑！，⑤关于双重差分法DID的32篇精选Articles专辑！，⑥关于合成控制法SCM的33篇精选Articles专辑！⑦最近80篇关于中国国际贸易领域papers合辑！，⑧最近70篇关于中国环境生态的经济学papers合辑！⑨使用CEPS, CHARLS, CGSS, CLHLS数据库实证研究的精选文章专辑！⑩最近50篇使用系统GMM开展实证研究的papers合辑！下面这些短链接文章属于合集，可以收藏起来阅读，不然以后都找不到了。