教学研讨｜ 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 ；6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示（2019版新教材）

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▍来源：网络

推荐：

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1．内容

　平面向量基本定理，平面向量的正交分解与坐标表示，平面向量的加法、减法、数乘和数量积运算的坐标表示．

　本单元的知识框图如下：

　2．内容解析

    平面向量基本定理表明任何一个平面向量a都可以唯一地表示成两个不平行向量的线性组合，即．特殊地，当时，则为正交分解，进而可以借助直角坐标系，用坐标表示向量a．

　这是对平面向量的一个基础性、结构性的认识：给定一个点A，以及两个不平行的向量，则可以刻画平面上任意的点P，通过向量的运算，平面上的点P就可以成为“可操纵”的对象．这是用“数”的运算处理“形”的问题，体现了数形结合的思想方法．

　通过平面向量基本定理，用向量表示几何问题；结合向量运算；最后将向量问题翻译成几何问题，这是“向量法”解决问题的一般步骤与方法．

　“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础；向量的几何表示与运算是向量的坐标表示与运算的平行概念；而向量的概念、表示与运算则是平面向量基本定理的上位概念．

　以向量的线性运算为基础，学习平面向量基本定理，进而学习向量的坐标表示与运算．让学生感悟平面向量是体现“形”与“数”融合的重要载体，感受向量方法的力量．

　基于以上分析，可以确定本单元的教学重点：平面向量的基本定理；平面向量运算的坐标表示．

　二、目标和目标解析

　1．目标

　（1）理解平面向量基本定理及其几何意义．

　（2）掌握平面向量的正交分解及坐标表示．

　（3）掌握平面向量的加、减运算与数乘运算的坐标表示．

　（4）掌握平面向量的数量积的坐标表示．

　2．目标解析

　（1）类比力的合成与分解，将任意一个平面向量唯一地表示成两个不平行向量的线性组合，进而理解平面向量基本定理及其意义．

　（2）借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解及坐标表示．

　（3）知道用坐标表示的平面向量的加、减运算与数乘运算的运算法则，并能熟练进行运算．

　（4）知道坐标表示的平面向量的数量积的运算法则，并能熟练进行运算．

　（5）能用坐标表示两个平面向量的夹角；能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．

　三、教学问题诊断分析

　学生学习了向量的概念以及向量的运算，但在学习平面向量基本定理时仍然会遇到很大的困难，主要体现在三方面：

　其一，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示．类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？这是学习障碍之一，首先，这个问题的提出就不容易，其次，从一维数轴到二维坐标平面，是思维的一个跨越．解决这个问题，可以借助物理中力的分解与合成．

　其二，任何一个向量都可以唯一表示成，这涉及对“存在性和唯一性”的认识，对思维要求较高．解决这个问题，可以从两方面入手，一是借助信息技术，动态表示；另一方面需对唯一性给出严格的证明．

　其三，用向量方法解决几何问题时，先要用基底表示其他相关向量，进而通过向量运算解决问题，这是一个全新的方法．解决这个问题，需多加练习，做到熟能生巧．

　由此，可以确定本单元的教学难点是：平面向量基本定理，用平面向量基本定理解决有关问题．

更多：https://www.pep.com.cn/gzsx/xrjbgzsx/xrjgzwd/202005/t20200509_1951166.html

四、教学重点、难点

重点：平面向量的基本定理；平面向量运算的坐标表示．

难点：平面向量基本定理，用平面向量基本定理解决有关问题．

五、数学学科素养

数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模。

六、教学过程：见《研讨素材二》

研讨素材二

本单元第2课时  

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示

　（一）课时教学内容

　正交分解，向量的坐标表示，向量的加、减运算的坐标表示．

　（二）课时教学目标

　1．类比重力在斜坡的分解，理解向量的正交分解．

　2．对给定的向量，能写出其坐标表示．

　3．知道向量的坐标表示与点的坐标的区别与联系．

　4．能进行向量坐标表示的加、减运算．

　（三）教学重点与难点

　教学重点：向量的坐标表示，向量的加、减运算．

　教学难点：向量的坐标表示．

　（四）教学过程

本单元第3课时   待续......

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研讨素材三

2.3.1  平面向量基本定理

2.3.1  平面向量基本定理 

2.3.2  平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.2-3  平面向量坐标表示及坐标运算 

2.3.3  平面向量的坐标运算

2.3.4平面向量共线的坐标表示

2.3.4  平面向量共线的坐标表示 

2.4.1  平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 

2.4.2  平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 

2.5.1  平面几何中的向量方法

2.5.1  平面几何中的向量方法

2.5.2  向量在物理中的应用举例

2.5.2  向量在物理中的应用举例

四、教材习题答案

    根据文末留言的要求，考虑到高一学生预习的需要，这里提供教材的练习、习题及复习参考题等等习题答案，可能有错漏，仅供各位学生朋友参考。

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