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北师大版九年级数学下全册知识点精讲

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第一章 直角三角形的边角关系

1.1 锐角三角函数

1.2 30°,45°,60°角的三角函数值

1.3 三角函数的计算

1.4 解直角三角形

1.5 三角函数的应用

1.6 利用三角函数测高


第二章 二次函数

2.1 二次函数

2.2 二次函数的图象与性质

2.3 确定二次函数的表达式

2.4 二次函数的应用

2.5 二次函数与一元二次方程


第三章 圆

3.1 圆 知识点精讲

3.2 圆的对称性

3.3 垂径定理

3.4 圆周角和圆心角的关系

3.5 确定圆的条件

3.6直线和圆的位置关系

3.7 切线长定理

3.8 圆内接正多边形

3.9 弧长及扇形的面积


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知识点总结

第一章  直角三角形边的关系

一.锐角三角函数

1.正切:

定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,

;

①tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;

②tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比;

③tanA不表示“tan”乘以“A”;

初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A是锐角的正切;

⑤tanA的值越大,梯子越陡,∠A越大;∠A越大,梯子越陡,tanA的值越大。

2.正弦

定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即;

3.余弦:

定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即;

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二.特殊角的三角函数值

三.三角函数的计算

1.仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角

2.俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角

3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。

4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示,即

5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。

6.方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4OAOBOCOD的方向角分别是;北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。

7.同角的三角函数间的关系

①互余关系sinA=cos(90°-A)、cosA=sin(90°-A)

②平方关系:

③商数关系:


8.解直角三角形:在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形(须知一条边)。

9.直角三角形变焦关系:

在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有

(1)三边之间的关系:a2+b2=c2

(2)两锐角的关系:∠A+∠B=90°;

(3)边与角之间的关系:

10.三角函数的应用教材第18页

11.利用三角函数测高 教材第22页

第二章  二次函数

1.概念:一般地,若两个变量x,y之间对应关系可以表示成(a、b、c是常数,≠0)的形式,则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范围。

2. 图像性质:

(1)二次函数y=ax2的图象:是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线是二次函数的特例,此时常数b=c=0.

(2)抛物线的描述:开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x轴的交点。

①函数的取值范围是全体实数;

②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y轴(或称直线x=0)。

③当a>0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。当a<0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。

④函数的增减性:

当|a|越大,抛物线开口越小;当|a|越小,抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值:当a>0,且x=0时函数有最小值,最小值是0;当a<0,且x=0时函数有最大值,最大值是0。

(3)二次函数的图象:是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线,二次函数的图象中,a的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。

(4)二次函数的图象:是以直线为对称轴,顶点坐标为()的抛物线(开口方向和大小由a来决定)

|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越快;

|a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越慢。

(5)二次函数的图象与y=ax2的图象的关系:

 的图象可以由y=ax2的图象平移得到:(利用顶点坐标)

(6)二次函数的图象:是以直线x=h为对称轴,顶点坐标为(h,k)的抛物线。(开口方向和大小由a来决定)

(7)二次函数的性质:

二次函数配方成则抛物线的

对称轴:x=  

②顶点坐标:(

③增减性:若a>0,当x<时,y随x的增大而减小;当x>时,y随x的增大而增大。

若a<0,则当x<时,y随x的增大而增大;当x>时,y随x的增大而减小。

④最值:若a>0,则当x=时,;若a<0,则当x=时,

3.确定二次函数的表达式:(待定系数法)

(1)一般式:

(2)顶点式:

(2)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)

4.二次函数的应用:教材第46页 几何方面

教材第48页 应用题

5.二次函数与一元二次方程

(1)二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应一

二次方程的两个实数根

(2)抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

>0 <===> 抛物线与x轴有2个交点;

  =0 <===> 抛物线与x轴有1个交点;

<0 <===> 抛物线与x轴有0个交点(无交点);

(3)>0时,设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离:

化简后即为: 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。


第三章  圆

1.圆的定义:

描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆;固定的端点O叫做圆心;线段OA叫做半径;以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作“圆O”

集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆。

对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线,不是圆面;

                  ②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。

2.点与圆的位置关系及其数量特征:

如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则

①点在圆上 <===> d=r;

②点在圆内 <===> d<r;

③点在圆外 <===> d>r.

其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

3. 圆的对称性:

(1) 与圆相关的概念:

①弦和直径 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径:经过圆心的弦叫做直径。

②弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”表示,以CD为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。优弧:大于半圆的弧叫做优弧。劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。)

③弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

④同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.

⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.

(2). 圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形,对称中心为圆心。

定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

4.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

推论:平分一般弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:

          ①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。

        上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

5.圆周角和圆心角的关系:

(1)圆周角::顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

(2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.

推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;

3)圆内接四边形:若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.

圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补;

6 确定圆的条件:

(1)理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.

(2)经过三点作圆要分两种情况:

经过同一直线上的三点不能作圆.

‚经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.

定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. (尺规作图教材第85页)

7.三角形的外接圆、三角形的外心。

(1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.

(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.

(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.

8.直线与圆的位置关系

(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.

(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.

(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.

(4)直线与圆的位置关系的数量特征:

 设⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d;①­d<r­<===> ­直线L和⊙O相交.

                                          ②d=r­ <===> ­直线L和⊙O相切.

                                          ③d>r­ <===> ­直线L和⊙O相离.

(5)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.

    切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.

①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.

(6)三角形的内切圆、内心.

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.

三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等. (三角形的内切圆作法尺规作图教材第92页)

9切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长想等,圆外切四边形对边相等,直角三角形内切圆半径公式.

10.圆内接正多边形

(1)定义:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆.

(2)中心角、边心距:

11.弧长及扇形的面积

(1)弧长公式:弧长(R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)

(2)扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.

(3)扇形的面积公式:扇形的面积(R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 扇形的面积S扇形=LR/2

12.与圆有关的辅助线

(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.(圆心向弦作垂线)

(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.(直径添线成直角)

(3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.(切点圆心要相连)


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