北师大版九年级数学下全册知识点精讲

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第一章 直角三角形的边角关系

第二章 二次函数

第三章 圆

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知识点总结

第一章  直角三角形边的关系

一．锐角三角函数

1.正切：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，

即;

①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；

②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；

③tanA不表示“tan”乘以“A”；

④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

2.正弦：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;

3.余弦：

定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值

三．三角函数的计算

1.仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角

2.俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角

3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即

5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。

6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

7.同角的三角函数间的关系：

①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A)

②平方关系：

③商数关系：

8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。

9.直角三角形变焦关系：

在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有

(1)三边之间的关系：a²+b²=c²；

(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；

(3)边与角之间的关系：

10.三角函数的应用教材第18页

11.利用三角函数测高 教材第22页

第二章  二次函数

1.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成(a、b、c是常数,≠0)的形式，则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。

2. 图像性质：

(1)二次函数y＝ax²的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.

（2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。

①函数的取值范围是全体实数；

②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。

③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。

④函数的增减性：

⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0。

（3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。

（4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）

|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；

|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。

（5）二次函数的图象与y＝ax²的图象的关系：

 的图象可以由y＝ax²的图象平移得到：（利用顶点坐标）

（6）二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）

（7）二次函数的性质：

二次函数配方成则抛物线的

①对称轴：x=  

②顶点坐标：（）

③增减性：若a>0，当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大。

若a<0，则当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小。

④最值：若a>0，则当x=时，；若a<0，则当x=时，

3.确定二次函数的表达式：（待定系数法）

（1）一般式：

（2）顶点式：

（2）交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)

4.二次函数的应用：教材第46页 几何方面

教材第48页 应用题

5.二次函数与一元二次方程

（1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x₁，x₂是对应一

二次方程的两个实数根

（2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

>0 <===> 抛物线与x轴有2个交点；

  =0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；

<0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；

（3）当>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：

化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。

第三章  圆

1.圆的定义：

描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”

集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。

对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

                  ②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

2.点与圆的位置关系及其数量特征：

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则

①点在圆上 <===> d=r;

②点在圆内 <===> d<r;

③点在圆外 <===> d>r.

其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

3. 圆的对称性:

（1) 与圆相关的概念：

①弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径：经过圆心的弦叫做直径。

②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)

③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.

（2）. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

          ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

        上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

5.圆周角和圆心角的关系:

（1）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

（2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.

推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

（3）圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.

圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补;

6 确定圆的条件:

（1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.

（2）经过三点作圆要分两种情况:

经过同一直线上的三点不能作圆.

‚经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.

定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. (尺规作图教材第85页)

7.三角形的外接圆、三角形的外心。

(1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.

(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.

(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.

8.直线与圆的位置关系

(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.

(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.

(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.

(4)直线与圆的位置关系的数量特征:

 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①­d<r­<===> ­直线L和⊙O相交.

                                          ②d=r­ <===> ­直线L和⊙O相切.

                                          ③d>r­ <===> ­直线L和⊙O相离.

(5）切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.

    切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.

①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.

(6）三角形的内切圆、内心.

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.

三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等. (三角形的内切圆作法尺规作图教材第92页)

9切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.

10.圆内接正多边形

(1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.

(2)中心角、边心距：

11.弧长及扇形的面积

(1)弧长公式:弧长(R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)

(2)扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.

(3)扇形的面积公式:扇形的面积_{(R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)} 扇形的面积S_扇形=LR／2

12.与圆有关的辅助线

(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）

(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）

(3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）

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复习提纲

北师大版初中数学789年级第一学期全册教案汇编

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