北师大版八下数学 2.6《一元一次不等式组》 知识点精讲

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知识点总结

一、一元一次不等式组定义

由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

注：一元一次不等式组的几个不等式必须符合三个条件：

（1）这里的几个可以是两个、三个、…；

（2）每个不等式都是一元一次不等式；

（3）必须都含有同一个未知教。

二、一元一次不等式组解集

几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解。几个不等式的解集的公共部分通常利用数轴来确定，由两个一元一次不等式组成的不等式组及其解集的常见情况如下图所示：

①在求不等式组的解集过程中通常是利用数轴来确定不等式组的解集。

②在数轴上表示不等式组的解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画出公共部分。

③公共部分是指数轴上被两个不等式解集的区域都覆盖住的部分，若无公共部分，则说这个不等式组无解。

④关于x的不等式组

三、解不等式组

（1）解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。

（2）解一元一次不等式组的一般步骤：

第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集；

第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；

第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。

四、一元一次不等式组的应用

应用一元一次不等式组解决实际问题的一般思路：

审：从实际问题中找数量关系，分析哪个为未知量；

设：设出未知量；

列：根据不等关系列出不等式组成不等式组；

解：解不等式组；

验：从不等式组的解集中得到符合问题实际意义的解；

答：写出答语。

典 型 例 题

6．2015年6月5日是第44个“世界环境日”．为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．

（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？

（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？

（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？

概念复习提纲

一元一次不等式的判定

定义

含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式。

考察方式

一元一次不等式的定义与一元一次方程的定义只有一字之差，但考察的方式与题型是一致的，一般通过选择题判断各项是否为一元一次不等式

解题步骤依旧是“三看”

一看是否只有一个未知数

二看未知数的最高次数是不是一次，未知数系数是不是非0

三看未知数是否在分母或根号中（判定是否为整式）

例题

下列各式中，属于一元一次不等式的是(   A   )

不等式的基本性质

基本性质

传递性：对于等式，有a=b,b=c,则a=c,同样的，对于不等式有：a<b,b<c,则a<c

或a>b,b>c,则a>c.

不等式的运算

1.不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。

2.不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立;

3.不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，不等号方向要改变，所得的不等式成立。

如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc， a/c ＜ b/c 

所以，只有在两边都乘（或都除以）同一个负数时，需要变号，其他情况下都与等式运算一样。

经典考察方式

给定两个数的不等式关系，求变形后的大小关系，一般出现在选择题前面几道，虽然变形多种多样，但主要考察乘除以同一个负数有没有变号，所以此类题型的解题方法是观察乘除负数的选项有没有变号

例题

若a>b，则下列不等式中，不成立的是(B)

在数轴上表示不等式

在数轴上表示不等式口诀：备好数轴找准点 分清空实定方向

经典考察方式

给出一个一元一次不等式（组），判断不等式（组）的解在数轴上的表示方式，比较容易出错的陷阱在于空心和实心，一般出选择题。

解题步骤

求解出不等式（组）的解之后，检验解，根据解对照选项答案，先判断方向，再判断空心实心。

避免陷阱解题方式

求得解之后先在纸上画出数轴表示图，然后再对照各个答案。

例题

解一元一次不等式（组）

壹

解不等式

解不等式就是利用不等式的基本性质，把不等式变形成：“x＞a”(或“x≥a”), “x＜a”(或“x≤a”)

由于一元一次不等式与一元一次方程极其相近，求解过程也极其相似，由不等式的性质我们知道，不等式两边同时乘上或除以同一个负数时，符号要发生改变，其余情况下的运算符号都不需要改变

所以：解一元一次不等式的运算过程和解一元一次方程一样，只需要在乘（除以）负数的时候变号即可

解题过程

去分母（可能需要变号）——去括号——移项——合并同类项——约简系数（可能需要变号）

例题

解析

贰

解一元一次不等式组本质上就是分别解多个一元一次不等式，再将各个解结合到一起求交集，从而得出一元一次不等式组的解

解题步骤

(1)分别求出各不等式的解

(2)将它们的解表示在同一数轴上

(3)求原不等式组的解(即为它们解的公共部分)

解集及记忆方法

例题

解一元一次不等式组

解析

解: 解不等式①,得X＞-1

     解不等式②,得X≤6

把①, ②两不等式的解表示在数轴上(如图）

所以原不等式组的解是  -1＜X≤6

已知一元一次不等式（组）的解

求另一个数的解

此类型题是本模块的重难点，类型多种多样，选择题、填空题、计算题有出现。

出题形式

给出一个关于x的一元一次不等式（组），其中含有另一个未知数，并给出不等式（组）的解，从而求解未知数的解。

解题步骤

1.    将未知数视为常数，求解出关于未知数的解

2.    将关于未知数的解与已知解进行对比，确定未知数与已知解的关系，从而确定关于未知数的不等式（或方程）

经典例题（1）

1）已知x＜a的最大整数解为x＝3，则a的取值范围是    

       ．

解析

因为x的最大整数解为3，所以x必定小于4，所以a最大不超过4，a≤4，又由于a≤3，则x最大整数不能为3，因此求得3＜a≤4  

经典例题（2）

解析

经典例题（3）

解析

例题：不等式组的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是　      ．

【考点】CB：解一元一次不等式组．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，结合不等式组的解集即可确定a的范围．

【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，

解不等式a﹣x＜0，得：x＞3a，

∵不等式组的解集为x＞﹣1，

则3a≤﹣1，∴a≤﹣1/3，

一元一次不等式组的解法基本概念不等式的解

能使不等式成立的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解。例如：5.4,6都是3x＞15的解，这样的解有无数个；

不等式的解集

一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集。例如：x>5即表示3x>15的解集；；

解不等式

求一个不等式的解集的过程称为解不等式。即利用不等式的基本性质，将原不等式化为形如x≤a(或x＜a ，,x>a ，x≥a，)的不等式就可得到原不等式的解集；

一元一次不等式组

把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一个一元一次不等式组；

一元一次不等式组的解集

一元一次不等式组中的各个不等式解集的公共部分，就是一元一次不等式组的解集；

解不等式组

求不等式组的解集过程，叫做解不等式组；

不等式基本性质基本性质一

不等式两边同时加或减去同一个数（或式），不等号的方向不变；

基本性质二

不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

基本性质三

不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；

解一元一次不等式组的

基本步骤

第一步

求出不等式组中每一个不等式的解集；

去分母

利用不等式性质2、3，在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数（不要漏乘不含分母的项）

去括号

利用乘法分配律去括号（括号前是负号时，括号内各项都要变号）

移   项

利用不等式性质1，将含未知数的项移到不等式一边，常数项移到不等式另一边。（1.移项要变号；2.不要将加法的交换律与移项弄混。）

合并同类项

利用合并同类项法则，把不等式化成最简ax＞b或ax＜b（a≠0）的形式。（仅将系数相加减，字母连同它的指数不变）

系数化为1

利用不等式性质2、3在不等式两边同除以未知数的系数。（1.分子、分母不要颠倒。2.不等式两边都乘以负数时不等号要改变开口方向）

第二步

在数轴上表示出不等式的解集，找出公共部分(1.含等号实心，不含则空心。2、小于在左，大于在右)；

第三步

写出不等式组的解集；

图文解析

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