北师大版七上数学第二章 有理数及其运算 知识点精讲
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1*、数轴是新知识很多地方用到
2*、去绝对值与绝对值的几何意义很重要，有些学生在去绝对值和利用绝对值几何意义做题时比较容易出错(去绝对值的主要数学思想是“分情况讨论”这也是贯穿初高中的一个重要数学思想)
3*、有理数混合运算中去 去括号变号很多同学 容易在这块丢分。
1、有理数的分类
整数和分数统称为有理数。因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数。
2、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零
①在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等.
②相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的-个数不能说是相反数。
3、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴Y画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用
4、倒数:如果a与b互为倒数，则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
5、绝对值:在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。(|a|20)。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若商器则a≥0;若|a|=-a， 则a≤0。
绝对值的有关性质:
① 对任意有理数a,都有a≥0;
②若|a|=0，则a=0;
② 若|a|=]b|，则a=b或a=-b;
③ 若|a|=b (b>0) ，则a=±b;
⑤若la)+|b|=0，则a=0且b=0;
⑥对任意有理数a，都有|a|=|-al,
6、有理数比较大小:正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大:两个负数，绝对值大的反而小。
7、有理数的运算:
(1)五种运算:加、减、乘、除、乘方
多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负;当负因数有偶数个时,积的符号为正。只要有一个数为零， 积就为零。
有理数加法法则:
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同0相加，仍得这个数。
互为相反数的两个数相加和为0。
有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数!
有理数乘法法则:
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，积仍为0.
有理数除法法则:
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0的数都得0。
注意: 0不能作除数。
有理数的乘方:求n个相同因数a的积的运算叫做乘方。
a2是重要的非负数，即a2≥0;若a2+|b|=0则 a=0,b=0;
注意:
①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51;
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。
乘方的运算性质:
①正数的任何次幂都是正数;
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数户
③任何数的偶数次幂都是非负数;
④(除0以外任何数的0次方都得1) T的任河次幂都得1, 0的任何次幂(除0次)都得0;
⑤-1的偶次幂得1; -1 的奇次幂得-1;
⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
(2)有理数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。
(3)运算律
加法交换律 la+b=b+a .
加法结合律 (a +b)+c=a+(b+c)
乘法交换律 ab=ba
乘法结合律 (ab)c = a(bc)
乘法对加法的分配律 a(b+c)= ab + ac
变形公式 ab+ac=a(b+c)
8、科学记数法
-般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
(n=整数位数-1)
习题解答
一、选择题
1.考点：正数和负数的概念.
解析:(1)海拔-73米表示比海平面低73米,该说法正确;
(2)温度0℃表示温度为0摄氏度,原说法错误;
(3)0是最小的自然数,该说法正确;
(4)若向东走5米记作+5米,则0米表示原地不动,该说法正确.
正确的有(1)(3)(4),共3个.
所以C选项是正确的.
答案C
2.考点：整数、正数、负数、绝对值、有理数的概念．
解析：（1）正整数、零和负整数统称整数，故说法错误；
（2）0既不是正数，又不是负数，故说法正确；
（3）有绝对值最小的有理数，是0，故说法正确；
（4）正有理数、零和负有理数统称有理数，故说法错误．
答案：C
二、填空题
1.95分,83分.
2.略
三、解答题
1.答案:死海的湖面比海平面低392
解析:本题考查的是正数和负数
根据题意，海平面高度为0米，低于海平面的高度均为负数．
由题意得：海平面高度为0米，低于海平面的高度均为负数，
∴－392表明死海的湖面比海平面低392m．
解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2.答案:A:支出4000元B:温度上升9℃
答案：19.98mm~20.20mm
3.解:(1)这五名同学的实际成绩分别为:100、85、90、98、87;
(2),
所以这五名学生平均成绩是90+2=92.
2.数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线
数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度；
画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；
数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。
有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.
3. 相反数：
（1） 只有符号不同的两个数叫做互为相反数（在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等），0的相反数是0；
a，b互为相反数 a+b=0；
（2） 求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”； 下面的a，b即可以是数字，字母，也可以是代数式；
（3） 一般地，数a的相反数是-a，这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0.
4. 绝对值：
（1） 几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值 ；
（2） 代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.
（3） 对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0 ，即绝对值非负性； 若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数同时为0；
（4） 比较两个负数，绝对值大的反而小；
5.倒数：（1）乘积为1的两个数互为倒数，所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a，0没有倒数；
（2）求一个整数的倒数，写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数，再求出倒数.
（3）用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.
6. 有理数的四则运算：
⑴ 加法法则：
① 同号两数相加，符号不变，把绝对值相加；
② 异号两数相加，绝对值相等时（即互为相反数的两个数）相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③ 一个数同0相加，仍得这个数；
有理数加法运算律：交换律和结合律（互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加）.
⑵ 减法法则：
① 减去一个数，等于加上这个数的相反数，依据加法法则
② 加减混合运算，通过减法法则将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；
减法没有交换律.
⑶ 乘法法则：
① 两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；
② 任何数同0相乘，得0；（另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.）
③ 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.
乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.
⑷ 除法法则：
① 两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除；
② 0除以任何非0的数都得0.
③ 除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即 .
⑸ 乘方：
① 求几个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂；， 表示n个相同因数乘积的运算；
② 负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来 ；当指数是1时，可省略不写；
③ 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（奇次幂 2n+1，2n-1； 偶次幂 2n）；0的正整数次幂都是0.
⑹ 混合运算：
① 从左到右的顺序进行；
② 先乘方，再乘除，后加减；如有括号，应先算括号里面的；
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