玻尔氢原子模型中德布罗意波的最概然解释

1 提出问题

玻尔氢原子模型在量子理论发展史上有着非常重要的地位，在模型中玻尔根据对应原理思想得出了氢原子轨道稳定性的量子化条件：只有电子角动量为(即约化普朗克常量)整数倍的那些轨道才是稳定的[1, 2]。根据对应原理确定某个体系的量子化能级需要知道系统轨道运动的频率对能量的依赖关系，这通常比较麻烦，但是如果反过来，把角动量量子化条件作为出发点，往往可以比较容易求出体系的量子化能级。此外，量子化条件与经典力学并不相容，带有一定的人为假设性质，并未从根本上解决不连续的本质[3]，因此当时的物理学家希望能对量子化条件给予更深刻的物理解释。英国物理学家布里渊曾设想原子核周围存在以太波，这种波是由电子运动激发的。该波相互干涉，只有在特定合适的轨道半径时才能形成绕原子核的驻波，因为轨道半径是量子化的[4]。

布里渊的理论对德布罗意后来的工作有直接的影响。德布罗意引入相位波(现称为物质波)的概念，抛弃了布里渊模型中的以太概念，直接把波动性赋予电子自身。德布罗意认为可以用相位波解释轨道稳定性的量子化条件。他在博士论文中写道：“相位波的传播类似于深浅程度不同的水渠中水波的传播。……为了取稳定的状态，……水渠的长度l必为波长λ的整数倍，……则共振条件为l=nλ。”其中n为整数。“1917年，爱因斯坦给出了一种其形式不随坐标变换而改变的量子化条件。……适用于闭合轨道的形式，其表达式为∮pidqi=nh，积分是沿着轨道的整个长度进行的。”其中，pi为广义动量；qi为共轭的广义坐标；h为普朗克常量。“在玻尔原子的圆形轨道的特殊情况下，因为有v=ωR,(ω为角速度)，故有m0∮vdl=2πRm0v=nh，即这正是玻尔最初算出的简单形式。因此，我们明白了为何某些轨道稳定的原因。”[5]其中，v是电子线速度；m0是电子质量；R是圆轨道半径；h为普朗克常量。按照德布罗意的解释，氢原子中的电子做圆轨道运动，其相位波形成驻波，轨道周长应等于波长的整数倍，即2πR=nλ。考虑到玻尔氢原子的第n个能级轨道半径为rn=n2a0，可得该轨道的德布罗意波长λn为

(1)

其中a0是玻尔半径。

尽管德布罗意利用相位波理论解释了量子化条件，但是从后来建立的量子力学角度看，其解释有明显的局限性。薛定谔于1926年发表在《物理学年鉴》的第一篇论文[6]中从经典的雅可比-哈密顿方程出发，并引入作用量函数S=Klogψ(K是一常量)，利用变分法得到描述氢原子的方程：

(2)

式中，E为电子能量；e为电子电量绝对值；r为电子相对原子核的距离。在考虑函数ψ的单值性和有限性后，当E为负值时，方程(2)中E的解为

(3)

得到和玻尔氢原子模型一样的能级。薛定谔进一步写到：“我……最终……以上述更为中性的数学形式给出了它们，因为它揭示出了真正本质的东西。在我看来，真正本质性的东西，在于‘整数’假设无须再神秘地引入量子化规则，而是通过进一步回溯问题，从而发现‘整数性’根植于某个空间函数的有限性和单值性。”[6]薛定谔的解释显然不同于德布罗意。不仅如此，氢原子本征态波函数ψnlm也不是动量的本征函数，所以ψnlm的德布罗意波长没有确定的值，而呈现一定的分布，这显然与德布罗意的解释不同。此外，玻尔模型中氢原子能级不存在简并问题，而量子力学解存在简并问题，如下文所述不同的简并态对应的德布罗意波长分布并不一样。

尽管德布罗意的解释有明显的局限性，但是我们不应该简单地认为德布罗意的解释是错误的或者纯属巧合，应该进一步探究其内在原因。量子力学的计算结果显示玻尔氢原子模型中的半径其实是由|Rn(n-1)r2|2得到的最概然半径[3]，其中Rnl为径向函数，可以看出最概然半径仅仅取决于氢原子波函数ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)中的径向函数Rnl(r)部分。我们可以据此推测，玻尔氢原子模型的德布罗意波长λn=2πna0是否具有类似的最概然解释呢？本文基于上述推测，研究了氢原子不同量子态下的径向函数对应的德布罗意波长概率分布，发现λn有类似的最概然解释。

2 计算、分析和讨论

氢原子德布罗意波长概率分布的计算过程如下：首先计算出径向函数Rnl(r)在动量空间的表示Cnl(p)；然后计算动量在p到p+dp范围内的概率分布|Cnl(p)|24πp2dp；最后根据德布罗意关系计算德布罗意波长概率分布。

径向函数Rnl(r)由坐标表象到动量表象的变换关系为[7]

(4)

其中jl是球贝塞尔函数。参考文献资料的一般做法，下面只列出n=1、2、3的计算结果，相应径向函数有6个：R10、R20、R21、R30R31、R32。计算结果显示上述径向函数对应的德布罗意波长概率分布的极值个数并不相同，据此可将这6个态分为两类：第一类是R20、R30、R31，在λ∈(0,∞)范围内，德布罗意波长概率分布有多个极大值，这类情况与我们要讨论的问题无关，所以不再列出它们的具体计算结果；第二类是R10、R21、R32，在λ∈(0,∞)范围内，德布罗意波长概率分布只有一个极大值，这类情况与我们要讨论的问题密切相关。为什么它们只有一个极大值呢？这源于氢原子径向函数的自身特点。氢原子的径向函数可以写为[3]

(5)

其中u(r)满足方程

(6)

函数u(r)，进而径向函数Rnl(r)的行为由径向量子数nr决定[3]。由于nr=n-l-1，所以第二类径向函数有nr=0，此时的径向函数可表示为

(7)

在r∈(0，∞)范围内，是减函数，而是增函数，因此Rn(n-1)是个先增后减的函数，故有一个峰值，相应的在λ∈(0，∞)范围内λ只有一个极值。

径向函数R10、R21、R32表示如下：

(8)

相应的球贝塞尔函数表示如下：

(9)

根据公式(4)，径向函数R10 在动量空间的表示，即动量概率振幅为

(10)

动量的大小在p～p+dp范围内的概率为

(11)

由德布罗意关系可得德布罗意波长在λ～λ+dλ范围内的概率为

(12)

在λ∈(0，∞)范围内，当λ=2πa0时w10(λ)有最大值，即R10的最概然德布罗意波长λp1=2πa0，等于公式(1)所示的玻尔模型基态(n=1)时的德布罗意波长λ1。

同理可得R21的动量概率振幅：

(13)

则动量大小在p～p+dp范围内的概率为

(14)

可得德布罗意波长分布的概率密度为

(15)

在λ∈(0，∞)范围内，R21态的最概然德布罗意波长λp2=4πa0，等于玻尔模型第一激态(n=2)的德布罗意波长λ2。

最后，R32态的动量概率振幅：

(16)

动量大小在p～p+dp范围内的概率为

(17)

可得德布罗意波长分布的概率密度为

(18)

在λ∈(0，∞)范围内，R32态的最概然德布罗意波长λp3=6πa0，它等于玻尔模型第一激态(n=3)中电子的德布罗意波长λ3。

3 结论

综上所述，可得出结论，德布罗意对玻尔氢原子模型解释中的德布罗意波长在物理实质上对应于氢原子量子态中径向函数Rn(n-1)(即径向量子数nr=0)的最概然德布罗意波长。

参考文献

[1] 玻尔. 玻尔讲演录[M]. 戈革，译. 北京：北京大学出版社，2017.

[2] 德布罗意. 德布罗意文选[M]. 沈惠川，译. 北京：北京大学出版社，2012.

[3] 曾谨言. 量子力学卷I[M]. 北京：科学出版社，2013.

[4] 郭奕玲，沈慧君. 物理学史[M].北京：清华大学出版社，1993.

[5] 德布罗意. 德布罗意文选[M]. 沈惠川，译.北京：北京大学出版社，2012.

[6] 薛定谔. 薛定谔讲演录[M]. 范岱年，胡新和，译.北京：北京大学出版社，2007.

[7] 张永德，张鹏飞，刘乃乐，等. 物理学大题典量子力学(上册)[M]. 北京：科学出版社，2018.

作者简介: 雷勇，男，南京信息工程大学讲师，主要从事物理教学科研工作,研究方向为宽禁带半导体功率器件，[e-mail]。

引文格式: 雷勇. 玻尔氢原子模型中德布罗意波的最概然解释[J]. 物理与工程，2020，30(3)：44-46.

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