旋转球体在空气中的运动轨迹：由2020年北京高考物理14题引发的思考

摘要

2020年北京高考物理第14题考查了旋转篮球在空中的运动特征。试后，该题所涉及的偏转力以及对篮球运动状态的判断引起了热议。本文从题目背景出发，首先基于伯努利原理分析了旋转球体相对流体运动时所受偏转力（马格努斯力）的形式。进而，通过建立球在空中运动的动力学方程，具体讨论了旋转球体在不同初始条件下释放后在空中的运动轨迹。本文的研究表明，旋转篮球在空中自由释放后，在落地前能做上升运动的临界转速为8.6r/s。随着转速的增加，篮球在空中第一次上升运动位置的竖直方向位移逐渐减小。此外，若释放位置足够高，球体在空气中最终将达到匀速直线运动的稳定状态。本文解析得到了球体在这一稳定状态下的收尾速度和收尾角度。

The question 14th of the 2020 Beijing college entrance examination of physics investigated the kinematic characteristics of a rotating basketball in the air. After the test, the deflectional force involved in the question and the judgment of the basketball kinematic state aroused heated discussion. Starting from the background of this question, this paper firstly analyzes the form of the deflectional force (Magnus force) for a rotating sphere moving relative to the fluid based on the Bernoulli principle. Furthermore, by establishing the dynamic equation of the ball in the air, the trajectory of the rotating sphere in the air after being released under different initial conditions are discussed in detail. The results show that the critical rotating speed of the ascend motion of the spinning basketball before landing is 8.6r/s after being freely released in the air. As the rotating speed increases, the vertical displacement of the basketball's first ascending position in the air decreases gradually. In addition, if the release position is high enough, the sphere will eventually reach a stable state of rectilinear motion with constant velocity in the air. In this paper, the ending velocity and ending angle of the sphere in this steady state are obtained analytically.

在近期刚刚结束的2020年北京市高考中，物理卷第14题以从高处释放旋转篮球的生活场景为素材，通过提供新信息（空气阻力和偏转力的方向及大小），让学生结合已有的知识及方法（机械能转化、力与运动的关系及受力分析）判断并推测篮球在空中的运动情况。问题原文如下：

首先对于题目中的A选项，由题目信息可知，不旋转的篮球下落不会受到垂直于运动方向的力而发生偏转，所以f₂的产生与球的转动密不可分。因此k₂与角速度有关，但仅从题目信息中无法得到该力产生的本质原因以及与角速度的具体关系。

题目中的B选项考查了学生对于空气阻力做功时能量转化过程的理解，由于机械能减少，篮球无法回到初始高度，转动角速度也会在空气阻力矩的影响下而衰减。

对于问题中C选项所提到的篮球向上运动的可能性，如果从定性的角度分析这一现象，在篮球下落的过程中，由受力分析可知，随着速度不断增大，篮球受到f₁和f₂的合力沿竖直方向的分力可能会出现比重力大的情况，故而可使篮球竖直方向的分速度减小为零或变成竖直向上，所以篮球可能向上运动。但其向上运动所需满足的条件题目中并未涉及。

对于D选项所提到的“持续水平直线运动”，如果篮球的速度变成水平方向，则空气阻力的作用会使篮球速度减小，则篮球受到的偏转力f₂将变小，不能保持f₂与重力持续等大反向，所以不可能在空中持续一段水平直线运动。

可见，对于题目中引入的由于篮球旋转产生的偏转力的正确理解与分析是完成这一题目的关键。高考中这一问题的设置很好地考查了学生的科学思维，在引导学生从物理学视角认识和理解生活现象方面起到了很好的促进作用。同时这种现象并不仅限于篮球，它在其他任何涉及球类的运动中都很普遍，例如足球中的香蕉球、电梯球等，以及乒乓球的各类旋球技法^[2,3]等。为了进一步挖掘这一现象背后的物理原理，本文将从如下几个方面展开讨论：（1）转动的球形物体所受到的偏转力是如何产生的？与物体的角速度有何关系？（2）哪些因素会影响球体的运动轨迹，将如何影响？（3）要想实现题目中C选项所提及的球体向上运动的现象，“足够高释放”是否为充分必要条件，除此之外，是否还需要满足其他条件？（4）篮球虽不可能在空中持续一段水平直线运动，但其在空中的运动是否会像雨滴的收尾速度一样最终存在一个稳定运动的状态？

1 马格努斯效应及其简要证明

1672年，牛顿在剑桥观看一场网球比赛时观察到，上旋球会使球的下降速度更快。与此相反，下旋球会使球小距离地轻轻向上移动和漂移。1852年，德国物理学家海因里希·马格努斯提出: 当旋转物体的角速度矢量与其质心速度矢量不平行时，在与这两个矢量所在平面相垂直的方向上将产生一个横向力，导致物体飞行轨迹发生偏转，即著名的马格努斯效应^[1]．可见，由于马格努斯效应所产生的横向力即为篮球问题中的偏转力。

马格努斯效应的产生可以利用科恩达效应伯努利原理来解释。如图2所示，考虑一个半径为r的球相对于流体以速度v向右运动，流体即以速度v相对球体向左运动。科恩达效应表明，流体流过球时，会在球表面先产生附壁效应再在流经球之后分离并汇聚。当球以角速度ω顺时针旋转时，流体在球上表面附壁后的分离点会发生移动，具体来说，如图2所示，流体在球上表面的分离点会前置（靠近流体吹来的方向），而在球下表面的分离点会后移^[4]。这样一来，由于球的旋转流体在球的上下表面的流动速度就不同：在上表面的流速慢，而在下表面的流速快。因此，上下表面形成了由于流速差导致的压强差，由此产生了不为零的压力合力。这个力与球的角速度方向垂直，也与相对流体的运动方向垂直，方向从流体经过球表面流速慢的一端指向流速快的一端。简单来看，这种情况下，球上端和下端的流体速度v_u和v_d可以表示为

利用伯努利方程，并忽略上下表面由于势能变化带来的压差，有

这里p_u和p_d是球上下表面的压强，ρ是流体密度。联立式（1~2），可以得到

显然，这一压强差正比于转速，当转速为0时，压强差消失。进而，从量纲分析的角度，这一由物体转动带来的压强差在物体表面作用所带来的压力合力即为

其中S是球的横截面积。上式中力的具体形式可以进一步写为F=Cρωr³v，这里C是比例系数，可以在球表面经过面积分得到^[5-7]。需要注意的是，常系数C还取决于流体在旋转物体表面的流动状态，因此不同形状以及表面粗糙程度不同的物体具有不同的系数C,对于其求解过程，这里不再展开讨论。但是这一系数的具体值，不影响（4）式得到的力关于角速度ω、运动速度v的依赖关系。需要注意的是，上述讨论旨在半定量地讨论马格努斯效应的机制，严格地计算需要利用库塔儒可夫斯基定理^[5]。

式（4）得到的力即为马格努斯力，可以简写为

其中比例系数

与球的转速、流体密度和物体体积成正比。从这一推导中可以看到，马格努斯效应是伯努利原理的一个直接结果，与物体的转动和相对流场中的平动密不可分。总的来说,这一由于物体转动带来的垂直于物体平动方向的力会导致物体的轨迹相比于未转动的情况下更复杂，也会出现更丰富有趣的运动特征和轨迹。

2 旋转球体的运动轨迹：马格努斯效应的影响

在下面的研究中，本文具体考虑一个无质心初速度且有稳定旋转速度的球体在空气中自由释放后的运动。运动过程中其质心平动速度为v，球体绕质心旋转速度为ω。

如图3所示，简便起见，考虑在空中运动的一半径为r，密度为ρ_b，体积为V=4πr³/3的旋转球体。在竖直方向，该球体受到上下的重力mg与向上的浮力ρ_agV，这两个力大小恒定与球的运动状态无关，这里ρ_a是空气密度。此外，球体受到与运动方向相反的空气阻力f₁=k₁v²，以及在垂直于运动方向上球体受到马格努斯力f₂=k₂v。考虑球体在x-y平面内的运动，可以列出如下两个动力学方程

其中θ是球运动方向与x轴夹角，满足

联立式（7）~式（9），可以得到

对于球体而言，空气阻力系数和马格努斯力系数分别为

其中系数

这里是空气与球体的密度比。实际上，在球运动的过程中，空气会给球一相对质心的力矩从而影响球的转速，进而改变系数并影响球的质心运动。简便起见，在本文2.1节~2.4节的讨论中，只关注球的质心运动，而不考虑球转速的变化，即将球的转速视为一定值。考虑转速由于空气阻力矩导致的衰减而对球运动轨迹的影响将在2.5节中给出。

近似为自由落体的运动方程，空气阻力和马格努斯效应不明显。因此要想明显观察到马格努斯效应或空气阻力的效应，需要球体的密度不太大，这也是演示马格努斯效应的实验通常采用空心球或气球等密度较小物体的原因。接下来，首先讨论两种极端条件下的运动情况。

2.1 马格努斯力远大于空气阻力

这一条件由物体质心速度和转速共同决定。这种情况下可以忽略空气阻力的影响，而只考虑马格努斯效应。进而球的动力学方程可以简化为

求解这一组微分方程，可以得到球的运动轨迹满足

利用Matlab作出球的运动轨迹如图4所示

图4表示，在空气阻力相比马格努斯力可以忽略的情况下，球在运动过程中能量几乎不耗散，且在x-y平面内做周期运动。由式（15）可以看出，这种情况下球上下振荡的频率为，即球旋转速度越快，球相对于空气的密度越小，这一振荡运动也越快。在实际情景中，随着物体质心运动速度的增加，条件不再满足，此时空气阻力的影响不可忽略，球的运动轨迹也就不再如图4所描述的一样。这种情况下，运动轨迹的讨论在2.3.1节中给出。

2.2 长时间后的稳定运动：匀速直线运动

观察图3的受力分析不难发现，球在运动过程中可能存在一种稳态运动：即受力平衡下的匀速直线运动。这种情况下，球的受力平衡方程为

这里，θ_s和v_s分别代表球在受力平衡状态下与水平面的夹角和质心运动速度。联立上述方程组可以解得

其中系数

将受力平衡状态下球体速度与水平面的夹角θ_s和运动速度v_s分别称作收尾角度和收尾速度，并在图5中分别给出了角速度增加时θ_s和v_s的变化趋势（图中曲线是按照篮球的参数取值进行计算，取半径r=0.123m，质量m=0.6kg，空气密度ρ_a=1.29kg/m³，重力加速度g=9.8m/s²。）

从图5可以看出，随着角速度的增加，球体收尾角度和收尾速度均减小，且收尾角度随着角速度的增加减小得更快。这表明，当增大球的初始转速时，球释放后最终的稳态运动接近一种在水平方向的漂移运动（与水平方向夹角非常小），因而可以在水平方向有较大的移动距离。

特别地，当球角速度ω=0，球的运动不会偏转，最终会在空气阻力的作用下达到匀速状态。此时，μ→0，根据式（15），收尾角度θ_s=π/2, 即竖直下落；另外，根据式（16），收尾速度为

这与直接计算空气阻力和重力作用下球体的收尾速度一致^[8]。

2.3 一般情况下的运动轨迹

除了上面讨论的两种特殊情况，球的运动方程式（13）、式（14）没有一般的解析解。利用Matlab在不同的初始角速度条件下求解式（13）、式（14），在图6中绘出了若干具有不同特征的轨迹。图6中计算所用参数与图5一致。

2.3.1 无水平初速度释放篮球

图6中，左侧和右侧分别是不同转速下的篮球轨迹和相应的速度时间图像。其中，左侧轨迹图中黑色实线是Matlab数值求解球体动力学方程式（13）、式（14）得到的解，灰色虚线是2.1节中式（18）给出的不考虑空气阻力的解析解。右侧速度时间图中，粗线和细线分别代表篮球的竖直方向和水平方向的分速度随时间的变化曲线。可以看到，在刚释放的一小段范围内，由于运动速度不大，空气阻力较小，黑线与灰色虚线几乎重合。随着运动速度的增加，空气阻力由于与速度二次方成正比而明显增大，从而使得黑线与灰线偏离。

除此之外，对比图6(c)和图6(d)可以看到，初始角速度越大，球体在竖直方向上出现下降上升的运动阶段越多。图6的轨迹图还表明，在运动的末期，球的轨迹趋于一直线。从速度时间图上看，运动末期的竖直和水平方向分速度均趋于一常数。这与2.2节中给出的球的受力平衡解相吻合，此时球会做匀速直线运动直至落到地面。

同时注意到，随着球转速的增加，球体可能在下落的过程中出现反向上升，如图6(c)和图6(d)所示，即本文开篇所述北京高考物理卷14题C选项所给出的运动情景。具体分析球上升运动的条件，如图7所示。

图7中绘出了初始角速度分别为9r/s和8r/s篮球的运动轨迹（a）和竖直方向运动速度随时间的变化（b）。从运动轨迹可以看到，篮球是否出现上升运动的转速临界点介于8r/s到9r/s之间。从图7(b)可以看出，转速为9r/s的篮球在扔出后5s左右，出现了y轴正方向的速度，即向上运动，而转速为8r/s的篮球没有出现v_y>0的部分。同时，观察图7(a)，可以发现篮球能实现向上运动的临界转速对应的刚开始向上运动时的竖直方向位移介于15~20m之间。具体来说，数值计算表明篮球出现向上运动的临界转速n_c=8.6r/s，此时对应的向上运动时的竖直方向位移为18m。换而言之，当篮球的转速低于临界转速时，篮球自由释放后无法在落地前出现上升运动。

除此之外，从图6的几幅图中可以发现，随着角速度的增加，篮球第一次向上运动的位置对应的竖直位移在逐渐减小。且在初始角速度较大时，篮球运动轨迹（黑色实线）与式（18）给出的解析表达式在初始下落阶段内符合较好（灰色虚线），因此可以利用式（18）来研究大转速下篮球第一次向上运动对应的竖直方向位移。根据式（18）可知篮球在竖直方向最大位移为

这近似等于篮球在以较大转速释放后在空中出现第一次向上运动时对应的竖直位移，与转速成反比，即与前述图像分析的特点一致，转速越大，这一位移越小。图8中绘出了以篮球的参数为例，y_m关于转速ω的变化关系。

图8表明，当篮球转速达到50r/s时，y_m≈1.5m，这意味着这种情况下释放篮球的位置离地高度只要大于1.5m，就可以观察到篮球在不触地反弹的情况下出现的上升运动。

总的来说，当篮球转速大于临界转速8.6r/s时，只要人站得足够高（离地高度），落地前篮球就可以向上运动；若篮球转速小于临界转速，即n<8.6r/s时，无论人所站位置离地多高，落地前篮球都不可能向上运动。

2.3.2 以一定水平初速度释放篮球

图9给出了自由释放v_x(0)=0m/s（灰色实线）和以一定水平初速度v_x(0)=20m/s（黑色实线）抛出的旋转球的运动轨迹的对比。球的转速在图9（a~d）中分别设定为ω=10π/s，17π/s，30π/s，80π/s。

从图9中可以看出，在初始角速度相同时，相比于无水平初速度的情况（对比图9(b)中的橘线和蓝线），当篮球以一定水平初速度释放时，初始时竖直方向的马格努斯力会出现大于球重力的情况，此时球开始“抬头”，即向上运动，运动到最高点后才开始下落。且当转速增大时，球的运动变得复杂，此时球会由于马格努斯力和空气阻力的共同作用在空中多次上升回落，甚至出现类似螺旋线的运动，如图9(c)与图9(d)所示。

2.4 圆周运动和螺旋运动

值得一提的是，在旋转球运动的所有轨迹中，会出现做圆周运动和螺旋运动的情况。当所抛掷球密度与空气等大时，即ρ_a=ρ_b，球在竖直方向所受重力与浮力平衡，也就是g′=0。此时，球运动方程方程（13)~方程(14）式化为

进一步地，若忽略空气阻力，则球只受到马格努斯力的作用，且总垂直于速度方向。不难推断这种情况下，球将在马格努斯力的作用下做匀速圆周运动，如图10所示。

利用马格努斯力提供向心力，容易写出

其中R是球做圆周运动的半径，解之得

这是一个有意思的结果，此时马格努斯力会使得这样一个带自转的球体以

的角速度做圆周运动。这一结果，在实验上可以用水平面上的旋转球体进行检验。这一运动状态与磁场中的带电粒子受洛伦兹力的作用而做匀速圆周运动的情景类似。

另一方面，若考虑空气阻力的作用，球体在做圆运动的同时速度会衰减，进而绕圈半径减小，因此会呈现出螺旋线的轨迹。图11中，利用式（26）、式（27），分别绘出了忽略空气阻力时（=0）和考虑空气阻力时的旋转球的运动轨迹。图中计算所用球的自转速度取ω=10π/s，球的水平抛射初速度分别取v_x(0)=10m/s（灰色实线）和v_x(0)=20m/s（黑色实线）

观察图11（a）可以看出，忽略空气阻力时，球确实做圆周运动，且圆运动半径与抛射速度成正比，这与式（29）的理论结果一致。图11（b）表明，计入空气阻力后，球的轨迹是一类螺旋线，且随着抛掷速度的增加，螺旋线轨迹的尺寸增加。

2.5 空气阻力矩的影响

前面的讨论假定了球的转速恒定，因此球受到马格努斯力的系数k₂恒定，故而球所受马格努斯力只会因为球质心运动速度的改变而改变。但在实际情境中，球的转速会因为空气阻力矩的存在而衰减，这会通过影响马格努斯力系数k₂的大小而影响球的运动，从而改变球的运动轨迹。一般来说，空气中旋转物体所受阻力矩与物体的转速成正相关，最常用的阻力矩模型一般认为阻力矩与转速的一次方或者二次方成正比，即

其中δ=1,2，k₃是空气阻力矩的系数。将上式与与式（13）、式（14）联立，可以求解转速衰减情况下球体的运动，相应的运动轨迹在图12中给出，球初始转速设为ω₀=40π/s。

由图12可以看到，考虑阻力矩后，由于马格努斯效应随着转速的衰减而减弱，球在竖直方向的反向运动次数会降低。另外，对比图12(b)和图12(a)可以看到，当阻力矩正比于转速平方时，竖直方向震荡运动的衰减加剧得更为迅速。同时图中轨迹也说明，在考虑转速衰减后，球在同样的竖直位移下对应的横向移动随着转速衰减程度的增加而减少。

3 结语

总的来说，北京2020年高考物理卷第14题从高处释放旋转篮球的生活场景出发，通过给定新知识，考查了考生结合已有知识，并学习应用新知识解释物理现象、探究物理问题的能力。本文进一步分析了该问题所涉及的马格努斯效应，并具体讨论了旋转篮球在不同条件下释放后在空气中的运动轨迹，得到了以下结论：

（1） 旋转球体在空气受到的偏转力为马格努斯力，可以从伯努利原理出发进行解释并推导其具体形式，为F=Cρωr³v,与流体密度、物体转速、相对流体的速度以及球体体积成正比；

（2） 在释放高度合适时，当空气阻力相比马格努斯力可以忽略的情况下，旋转球在平面内做上下往复的周期运动；

（3） 在释放高度合适时，旋转球在运动过程中最终会达到匀速直线运动的状态。且随着转速的增加，球体在该匀速直线运动中的收尾角度和收尾速度均减小，且收尾角度随着速度的增加减小得更快；

（4） 根据数值计算结果，当篮球转速大于n>8.6r/s时，只要人站得足够高（离地高度y>），落地前篮球就可以向上运动；若篮球转速小于临界转速，即n<8.6r/s时，无论人所站位置离地多高，落地前篮球都不可能向上运动；

（5） 以较大的水平初速度抛出旋转的球时，球会先向上运动；

（6） 当所抛掷球密度与空气等大，且不计空气阻力时，旋转球将做圆周运动。计空气阻力时，球的轨迹是一类螺旋线;

（7） 若考虑空气阻力矩对释放球转动的减速效应，球在马格努斯力作用下的横向位移会减少。

上述结论（2）~（6）为假定球在运动过程中转速恒定得到。

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作者简介:  赵芸赫，女，首都师范大学附属中学中教二级，主要研究方向为物理课程与教学论、IYPT问题解决，[e-mail]。

通讯作者:  马宇翰，男，中国工程物理研究院博士，主要研究方向为有限系统热力学、黑洞信息问题，[e-mail]。

引文格式:  赵芸赫，马宇翰. 旋转球体在空气中的运动轨迹：由2020年北京高考物理14题引发的思考[J]. 物理与工程，2021，31（2）：79-86.

Cite this article: ZHAO Y H, MA Y H. Trajectory of a rotating sphere in the air-thoughts from the question 14th of Beijing college entrance examination of physics in the 2020[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（2）：79-86. (in Chinese)

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