CUPT 2019循环摆研究

摘要

2019年CUPT第14题“循环摆”描述了一个在生活中常见却物理原理深刻的现象。所谓循环，指的能够旋转一周以上，约定轻物体绕杆旋转一圈以上，就形成了循环摆。实验中观察循环摆的轨迹，发现其必然会过渡到渐开线。利用拉格朗日方程可得描述轻物运动的非线性常微分方程组，据此方程组分析过渡到渐开线时刻的各物理量的变化规律、确定形成循环摆的判据；同时，通过实验探究不同初始条件下对过渡到渐开线时刻的各物理量的影响，并与理论分析所得比较。结果表明，随着初始条件的改变，过渡到渐开线时：轻物绕杆角速度与轻物到杆的线长的变化趋势总是相反，且两者随着初始角度的改变必有一极值，而该极值总是在相同的初始角度下取得；轻物与水平面的夹角总与初始条件正相关。

The “circular pendulum” in question 14 of 2019 CUPT describes a phenomenon that is common in life but has profound physical principles. The so-called cycle refers to the ability to rotate more than one cycle, so it is agreed that a light object rotates more than one cycle around the rod to form a circular pendulum. Observing the trajectory of the circular pendulum in the experiment, it is found that it will inevitably transition to an involute curve. The Lagrange equation can be used to describe the nonlinear ordinary differential equations that describe the movement of light objects. According to these equations, the change law of each physical quantity at the time of transition to the involute curve is analyzed, and the criterion for forming a cyclic pendulum is determined. At the same time, through experiments, the effect of different initial conditions on the physical quantities at the time of transition to the involute is explored, and compared with the theoretical analysis. The results show that when transitioning to the involute, with the change of the initial conditions, the change trend of the angular velocity of the light object around the rod and the line length of the light object to the rod are always opposite, and the two must have an extreme value with the change of the initial angle. And the extreme value is always obtained at the same initial angle. The angle between the light object and the horizontal plane is always positively correlated with the initial conditions.

“循环摆”描述了一个在生活中常见却物理原理深刻的现象：将一重一轻两个物体通过水平杆上的一根绳子相连，并拉轻物以吊起重物。释放轻物，它将绕着杆转动，从而阻止重物载落到地面。生活中习以为常的现象，但其中的物理原理仍停留在猜想阶段，鲜有人去探究各参量对其的影响。笔者通过对三大中文文献数据库以关键词“循环摆”为题名，进行检索，只有一篇命中。该文“探究循环摆各变量对环绕圈数的影响”^[1]研究性不够。此前部分视频网站上也曾演示过循环摆，但只是从能量的角度泛泛而谈，而对隐藏在现象背后的物理原理却未作探究。本文将以实验与理论相结合的方式，探究循环摆现象。

1 理论分析

所谓循环，指的能够旋转一周以上，因此本文中对循环摆的约定是：如果m（本文公式中的m代表轻物体的质量，叙述中的m指的是轻物体，下同，略）最终能绕杆旋转一圈以上，则认为形成了循环摆（见图1）。实验观测发现：当m到达最高点时M（本文公式中的M代表重物体的质量，叙述中的M指的是重物体，下同，略）还在运动的情况，没有出现。且如果m能越过最高点，则可绕杆一圈以上。

由以上实验事实，我们可以认为m在第一次到达最高点之前就已经进入渐开线运动，因此可以将m的运动轨迹分为两部分，第一部分为M停止运动之前（即m做循环摆运动）；第二部分为M停止运动之后（也就是m做渐开线运动）。本文中将第一部分运动结束、第二部分运动开始时的时刻称为临界时刻。渐开线的数学形式已经很清晰，根据临界时刻的各个物理量，运用能量守恒也很容易写出第二部分的运动方程，因此本文着重探究m第一部分的运动。

记连接m和杆的那段绳子长度为l，与杆的切点为P; 连接M和杆的那段绳子与杆的切点为Q；P_m与水平面的夹角为θ（逆时针为正，顺时针为负）；杆的圆心为O；两切点与圆心连线的夹角为ψ；绳子与杆的摩擦因数为μ；杆半径为r；M运

径一般在0.004~0.01m之间，而释放轻物时的l一般在0.5~1.1m之间。

先对题目进行简单的分析，可以看到M应该是做直线运动，对应的运动方程应该较为简单，而m做二维运动，如果通过极坐标来描述的话，需要同时建立θ和l所满足的方程式，根据绳子是刚性的这一条件，可建立l与M的方程。

然而θ所满足的方程，较难得出，也是本文的重点。面对这样复杂的物理问题，通常先假设摩擦因数为μ=0，由此写出系统的拉格朗日量，然后根据拉格朗日运动方程来求解。再考虑μ≠0时，对有耗散情形的修正。但是，作者通过尝试，发现这种思路反而使问题无法分析。因为在μ=0的条件下，不会出现临界时刻。究其原因，不难发现：如果μ=0，M加速度和速度同时为0 的时刻不会出现，因此M不会停止运动，而是往复运动。同时，连接m与杆的那段绳子，也不能保证一直处于拉直状态。

如何描述θ所遵循的物理规律，笔者运用叠加原理，将任一时刻m的运动看作重力场中：m作渐开线运动与以P点为瞬轴的 “定轴”转动的合成。由此可将所满足的规律看作由三部分加速度叠加而成：与重力相关部分、与渐开线相关部分、与绕瞬轴“定轴”转动相关部分。为此，笔者在1.1.2节分析过程中，分别分析上述3种因素对的贡献，基于叠加原理，得到循环摆所满足的方程。这一方程正确性在随后的实验中也得到了进一步证实。

1.1 分析临界时刻前m的运动^[2,4,5,7]

在实验中，鉴于m的形状；空气阻力和绳子质量对系统的影响甚小，因此在推导中将其忽略。

上式左边为m在e_τ方向所受的合外力，右边第一项为沿e_τ的速度方向改变产生的加速度，右边第二项为沿e_τ的速度大小改变所产生的加速度。

在临界时刻之前，M不断下坠和m绕杆旋转，模型中假设绳子为理想刚性绳，因此可得式(4)

上式左边为P_m变化的速度，因为l随时间减小，所以加一个负号。右边第一项为绳子缠绕在杆上致使l缩短的速率，第二项为M向下运动致使l缩短的速率。将式（4）两边同时对时间求导，可得式（5），注意，对时间求导时会出现一个负号。

联立式式（1）、式（2）、式（3）、式（5）可得式（6）

第三部分为沿e_τ方向上的平动所导致的角加速度记为β₃。通过受力分析，β₁的表达式容易得到

为求得β₂的表达式，将β₂的成因抽象成当质点做渐开线运动时的角加速度，所以首先推导渐开线运动的规律，仅考虑质点做渐开线运动引起绳长变化，质点对于瞬心的角加速度。

如图3所示选取绳长和绳子与水平面的夹角为广义坐标，则

则体系的拉格朗日量为

式（9）中左边为渐开线运动所导致的角加速度，记为β₂，右边出现了l，r，等物理量，正是描述渐开线运动所需的物理量，体现出杆半径r对此系统的影响。而且如果让r趋向于0，则β₂也趋向于0，符合实际情况。

仿照β₂的推导过程，推导β₃：β₃成因于质点绕轴旋转时，由于旋转半径改变所产生的角加速度。下面仅考虑质点旋转半径改变，质点对于瞬心的角加速度。

如图4所示选取绳长和绳子绕过的角度为广义坐标，则

对t求一次导得

则体系的拉格朗日量为

达式，当仅考虑“定轴”转动效应时，无外力作用，

根据我们先前的分析β₃是由于m沿e_τ方向的平动而产生，之所以m会沿e_τ方向有平动，是因为M的拖拽，式（11）中左边出现v_M这一项，反映了M的运动对m运动的影响，当临界时刻以后， M停止运动v_M=0，则β3=0，于是m便在重力场下做渐开线运动了。与实验事实相符合。

因为β₁，β₂，β₃的方向相同，因此=β₁+β₂+β₃，将式（7）、式（9）、式（11）代入得

1.1.3 m运动的微分方程组

根据1.1.1节和1.1.2节的分析所得到的式（6）和式（12）还不能构成一个可解的微分方程组，需要加上约束条件式（4），由式（4）、式（6）、式（12）所构成的微分方程组的总微分阶数为4，因此需要四

通过求解微分方程组，便可得到m运动的信息。

1.2 形成循环摆现象的条件

临界时刻的所有物理量均加角标“变”表示，如（下同，略）。由实验得到，如果m能越过最高点，则可绕杆一圈以上。因此，我们将m是否能越过最高点作为是否形成循环摆的判据。设m运动到最高时所有物理量均加角标“最高”表示，如图5所示，最高处的角速度为

临界时刻过后绳子与杆不再发生相对滑动，因此体系不再有能量耗散，临界时刻过后，在重力场下m做渐开线运动，机械能守恒。以杆中心O所在高度为零势能，则临界时刻m的机械能可表示为

最高处的机械能可表示为

m在最高点处沿e_τ（此时e_τ方向为竖直向下与g同向）方向的加速度为

式（16）右边第一项为速度方向改变所产生的加速度，第二项为速度大小改变所产生的加速度。要想能越过最高点，只有满足式（17），才能保证越过最高点时绳中有张力。

根据绳不可伸长可得

联立式式（15）、式（16）、式（17）、式（18）得

当满足式（19）时，m在最高点时绳能绷紧，意味着m可以越过最高点，也就是能形成循环摆。不等式中r，g为常数，根据可判定不等式是否成立，而，可通过求解定初值的微分方程来确定。结合1.1.3节中的微分方程和式（19），便可通过初值判断能否形成循环摆。

2 数值求解

因为m做循环摆运动的速度极快，整个过程通常小于1秒，实验准确记录困难。笔者曾尝试用相机直接记录m轨迹，再与理论值对比，发现误差较大。进而调整策略，选择验证不同初始条件下的临界时刻的各物理量实验值是否与（数值求解得出的）理论值相符合的方案。

利用Mathematical的NDsolve函数数值解微分方程组^{[3,6,8,12,13,15-18]}，可以得到θ(t)，l(t)，

对比分析，可验证理论分析中的假设是否合理、理论模型是否正确，进而可验证形成循环摆判定条件式（19）是否正确。

由于变量较多，所以可以先在其他条件不变的情况下，研究某一个参量对循环摆的影响。我们对各变量赋值如下：，杆半径r=0.0042m，摩擦系数μ=0.2，初始角度θ₀=0，初始线长l₀=1m，通过控制单一变量的方法，逐一探究该变量对循环摆的影响。

3 实验验证

3.1 实验方案

根据理论分析，可知影响体系的变量主要有5个，分别为杆半径r，摩擦系数μ，质量比，初始角度θ₀，初始线长l₀。因涉及到变量较多，所以笔者采用控制单一变量法，研究某一变量对体系的影响。但在研究过程中发现即便是材质相同的杆与线，由于表面光滑程度不一样也会导致摩擦系数不一样，而在改变杆半径r时，势必要更换杆，因此会导致摩擦系数μ也发生改变，无法达到控制单一变量的要求，从而无法得出正确的结论。因此，在本实验中不改变杆半径和摩擦系数，所采用的杆与细线的摩擦系数为0.2086±0.0022，半径为(0.420±0.003)cm的钢杆，在改变某一参数时，其余的参数为l₀=(1.0000±0.0004)m，θ₀=(0.00±0.04)rad，=14.000±0.002。在其他条件相同时，分别设计不同θ₀，l₀，的数值，先用视频记录，后使用Tracker分析实验视频，最后用Origin分析处理实验数据，并与理论模拟所得曲线进行比较。

3.2 实验装置

图6为我们采用的实验装置，由于摩擦系数μ与杆半径r在图中比例太小，难以标出，其余的各个物理量已经在图中标出。

3.3 利用临界时刻的各个物理量验证微分方程组

我们采用如下方法从视频中分辨出临界时刻。因为，仅仅看m的运动轨迹是无法分辨的。可是分析M运动，不难发现，在临界时刻时，v_M为0（v_M=0后m便做渐开线运动，也就是说v_M变≡0，虽然初始时刻时也有v_M=0，但不满足=0，因此舍去t=0），因此M速度为零时的各物理量便是临界时刻的各个物理量。显然M仅做直线运动，而且速度相对于m较缓慢，既容易从视频中确定M速度为零的时刻，而且误差又小。比对临界时刻各个物理量的实验值与理论值，以此来验证本文的理论是否正确。

图7中实线均由理论值得出（下同，略）。图中所标的极限角度、极限线长、极限角速度、极限时间的意义分别为。

从图7中可以看到，理论值与实验值符合的较好。证明微分方程模型与实际情况较为贴合，在推导微分方程组时做作的假设合理。

为了进一步对图7中的各图进行对比分析、归纳总结，

对比图7中（d）与（g）、（e）与（h）、（f）与（i），发现两两变化趋势均相反。而且经过理论计算和实验验证，（f）与（i）的极值点相同（l_变与在相同的下取到极值），此结果表明，改变中的任一个，的变化趋势总是相反。而两者乘积在表征了在临界时刻m单位质量的角动量的大小，又因为两者变化趋势相反，可知，不同条件下的临界时刻m的角动量应该相差不大。基于上述分析，我们可以得到以下结论：

有了上述分析后，接下来分析12幅图的变化所代表的物理规律：

其次，分析图7中（b）、（e）、（h）、（k）。根据3.3节（6）的分析，随着l₀增大，体系运动应该是减缓的，相比较上一段所分析的令体系运动加快，图7中（b）、（e）、（h）、（k）与图（a）、（d）、（g）、（j）的变化趋势本应全部相反，事实上图（b）并不符合此规律。

最后，分析图7中（c）、（f）、（i）、（l）。图7（l）表明t_变与θ₀呈正相关关系，因为θ₀越大，体系总能量越小，体系运动越慢，t_变变长。理论计算显示：图（f），（i）中存在一阶导数为零的点，图（c）中存在二阶导数为零的点，且上述所有阶导数为0的点在同一个θ₀下取到。

3.4 通过实验验证循环摆判据的正确性

首先令

3.4.1 用验证循环摆的判据

首先改变质量比，通过Mathematical作图得到图8，根据图8可以得到，只有当质量比大于6.992时，才满足F₁<F₂。

而在实验中，在其他条件不变的情况下，取质量比为6.000±0.002，无法形成循环摆。而质量比为7.000±0.002时，刚好能形成循环摆，与理论相符合。

3.4.2 用l₀验证循环摆的判据

看到图9中在l₀=0.56处F₁存在突变，当l₀>0.561m时，有F₁<F₂，这意味着当l₀<0.561m时，无法形成循环摆。

在实验中观察到当l₀=0.5000±0.0004m时，m未绕杆一圈便会与杆碰撞，此现象正是图9中突变的原因，因为当撞击时m的运动规律就不能用1.1.3节中的微分方程组描述，因此方程的数值解在那一点会发散，反应到图上就是突变。l₀过小，在临界时刻前便会与杆碰撞。当l₀=(0.6000±0.0004)m时，在与杆相撞之前，m恰好能到达最高点附近。实验与理论符合较好。

3.4.3 用θ₀验证循环摆的判据

看到图10中在θ₀=0.92处F₁,F₂存在突变，且θ₀<0.92时，有F₁<F₂，意味着当θ₀>0.92≈0.3π便无法形成循环摆。

实验中测得，当F₁<F₂=(0.79±0.04)rad能明显形成循环摆现象，而当F₁<F₂=(1.05±0.04)rad时，不能形成循环摆。在此条件下，当m运动到大于1.2π时，无法使绳子绷直，此后做斜抛运动下落。因此，这一点之后的时刻便不能用1.1.3节中的微分方程组描述，数值解在这一点发散，体现到图中便是突变，图10与理论相符合。

4 结语

本文一方面基于经典力学，对现象进行理论分析，抓主要因素，得出一个描述此现象的微分方程组，并用Mathematical进行数值模拟。通过比对实验值，证实了微分方程组正确性。首先探究得到了描述循环摆运动的微分方程组。

初始条件对临界时刻物理量的影响可归纳为表1所示。其中，“+”代表正相关，“-”代表负相关，“\”代表出现极值。由实验和理论计算，在θ₀=-0.3rad处，l_变、θ_变有极大值，与实验现象符合。

本文另一方面探究形成循环摆的条件，给出了通过初值直接判定能否形成循环摆的方法：先将初值代入微分方程组，求出，再用代入不等式，便可判断能否形成循环摆。

本实验的装置简单，现象明显，而且在娱乐设施，课堂演示等方面都有一定的应用前景，是一个值得深入探讨的课题。

参考文献

[1]刘美玲,徐晶.探究循环摆中各变量对环绕圈数的影响[J].青年与社会,2019(29):236-237.

LIU M L, XU J. Exploring the influence of various variables in the circular pendulum on the number of circles[J]. Youth and Society, 2019(29): 236-237. （in Chinese）

[2]漆安慎,杜蝉英.力学［M］. 2版. 北京：高等教育出版社，2000.

[3]李海龙,刘海燕.第二类拉格朗日方程在无初速释放动力学问题中的应用[J].力学与实践,2019,41(5):607-611. 

LI H L, LIU H Y. The application of Lagrange equations of the second kind in the kinetics of release without initial velocity[J]. Mechanics and Practice, 2019, 41(5): 607-611.  （in Chinese）

[4]曾昭纬. 静摩擦力产生向心加速度的演示[J]. 物理实验, 1984(4):36.

ZENG Z W. Demonstration of centripetal acceleration produced by static friction[J]. Physics Experiment, 1984(4): 36. （in Chinese）

[5]薛克宗, 薛克宗. 滑动摩擦力分析[J]. 力学与实践, 1991, 13(4):61-62.

XUE K Z, XUE K Z. Analysis of sliding friction force[J]. Mechanics in Engineering, 1991, 13(4): 61-62. （in Chinese）

[6]LARS  H. Hypoelliptic second order differential equations[J]. Acta Mathematica, 1967, 119(1): 147-171. 

[7]李佳迅,邓邦林,胡志刚, 等.基于分析力学的方位径向摆运动特性研究[J].力学与实践,2019,41(5):534-542. 

LI J X, DENG B L, HU Z G, et al. Research on the motion characteristics of azimuth radial pendulum based on analytical mechanics[J]. Mechanics and Practice, 2019, 41(5): 534-542.  （in Chinese）

[8]孙杜杜,舒适.求解三维高次拉格朗日有限元方程的代数多重网格法[J].计算数学,2005,27(1):101-112. 

SUN D D. Comfortable. Algebraic multigrid method for solving three-dimensional high-order Lagrange finite element equations[J]. Computational Mathematics, 2005, 27(1): 101-112.  （in Chinese）

[9]丁光涛.拉格朗日力学逆问题和量纲分析[J].安徽师范大学学报（自然科学版）,2018,41(1):1-4. 

DING G T. Inverse problem of Lagrange mechanics and dimensional analysis[J]. Journal of Anhui Normal University (Natural Science Edition), 2018, 41(1): 1-4.  （in Chinese）

[10]杨卫东,洪林.基于拉格朗日方法的U型滑道约束链动力学研究[J].天津理工大学学报,2017,33(5):35-39. 

YANG W D, HONG L. Research on the dynamics of the U-shaped slide restraint chain based on the Lagrange method[J]. Journal of Tianjin University of Technology, 2017, 33(5): 35-39.  （in Chinese）

[11]金鑫,满春涛.半球谐振陀螺的拉格朗日力学建模方法[J].哈尔滨理工大学学报,2017,22(1):41-47. 

JIN X, MAN C T. Lagrange mechanical modeling method of hemispherical resonator gyroscope[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology, 2017, 22(1): 41-47.  （in Chinese）

[12]丁光涛.导出变系数非线性动力学系统拉格朗日函数的两种方法[J].动力学与控制学报,2017,15(1):10-14. 

DING G T. Two methods for deriving Lagrange functions of variable coefficient nonlinear dynamic systems[J]. Journal of Dynamics and Control, 2017, 15(1): 10-14. （in Chinese）

[13]罗操群,孙加亮,文浩, 等.多刚体系统分离策略及释放动力学研究[J].力学学报,2020,52(2):503-513. 

LUO C Q, SUN J L, WEN H, et al. Research on separation strategy and release dynamics of multi-rigid body systems[J]. Acta Mechanica Sinica, 2020, 52(2): 503-513.  （in Chinese）

[14]董全林,范运强,贾志军, 等.基于拉格朗日方法的缠绕复合运动动力学方程[J].机械设计与制造,2014,(2):76-79. 

DONG Q L, FAN Y Q, JIA Z J, et al. Dynamic equation of winding compound motion based on Lagrange method[J]. Machine Design and Manufacturing, 2014, (2): 76-79. （in Chinese）

[15]林开亮,王兢.求解常系数线性微分方程的代数方法[J].内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）,2019,48(6):577-582. 

LIN K L, WANG J. Algebraic method for solving linear differential equations with constant coefficients[J]. Journal of Inner Mongolia Normal University (Natural Science Chinese Edition), 2019, 48(6): 577-582.  （in Chinese）

[16]叶康生,邱廷柱.二阶非线性常微分方程边值问题有限元p型超收敛计算[J].工程力学,2019,36(12):7-14. 

YE K S, QIU T Z. Finite element p-type superconvergence calculation for boundary value problems of second-order nonlinear ordinary differential equations[J]. Engineering Mechanics, 2019, 36(12): 7-14.  （in Chinese）

[17]苏肖肖.一类带非线性边界条件的奇异二阶常微分方程正解的存在性[J].四川大学学报（自然科学版）,2019,56(6):1019-1025. 

SU X X. The existence of positive solutions for a class of singular second-order ordinary differential equations with nonlinear boundary conditions[J]. Journal of Sichuan University (Natural Science Edition), 2019,56(6):1019-1025.  （in Chinese）

[18]师小侠.基于二阶常微分方程的曲线拟合法[J].内江科技,2019,40(11):36,33.

SHI X X. Curve fitting method based on second-order ordinary differential equations[J]. Neijiang Science and Technology, 2019,40(11):36,33. （in Chinese）

基金项目:  华东理工大学绿色工程基金项目资助。

通讯作者:  房毅，男，华东理工大学副教授，主要从事热学、大学物理学教学工作，研究方向为管理学、新能源，[e-mail]。

引文格式:  钟粤文，刘姝含，孙宇飞，等. CUPT 2019循环摆研究[J]. 物理与工程，2021，31（2）：107-116.

Cite this article: ZHONG Y W, LIU S H, SUN Y F, et al. Research on circular pendulum in CUPT 2019[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（2）：107-116. (in Chinese)

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