基于柯西色散公式测量费尔德常数的方法

摘要

柯西色散公式是法国数学家柯西发现媒质的折射率与真空中入射光的波长的数学关系。由此可以提出一种在分光计实验平台上利用柯西色散原理测量费尔德常数的新方法，通过分光计测量汞灯发出的光线在三棱镜及三棱镜容器中发生色散时，每种特征谱线对应的折射率，进而计算出晶体的费尔德常数。此方法实验周期短，成本较低，可适应于多种环境下，使得测量更加简便。

Cauchy dispersion formula is the mathematical relationship between refractive index of medium and wavelength of incident light in vacuum, which was discovered by French mathematician Cauchy. Based on this formula, a new method is presented to measure the Verdet constant by using Cauchy dispersion principle on the experiment platform of spectrometer. The corresponding refractive index of each characteristic spectral line are measured when the light emitted by mercury lamp is dispersive in the prism and prism container by spectrometer, and then the Verdet constant of the crystal is calculated. This method has the advantages of short experiment period, low cost, and can be adapt to many environments, making the measurement easier.

费尔德常数是晶体和溶液的特性常数之一，其主要应用于磁光效应之中。目前测量费尔德常数的主要方法有偏振激光测量法、解析谱法等。柯西色散公式是法国数学家柯西发现媒质的折射率与真空中入射光的波长的数学关系。由此可以提出一种在分光计实验平台上利用柯西色散原理测量费尔德常数的新方法^[1-3]，通过分光计测量汞灯发出的光线在三棱镜及三棱镜容器中发生色散时，每种特征谱线对应的折射率，进而计算出晶体的费尔德常数。此方法实验周期短，成本较低，可适应于多种环境下，使得测量更加简便^[4]。 

1 实验原理

1845年，M.Faraday观察到，一束线偏振光在磁场的作用下，偏振光的振动面将发生旋转，旋转角ψ与样品长度D和磁感应强度B成正比，比例系数V称为费尔德常数^[5]，

费尔德常数与偏振光波长、材料性质和磁场方向有关，描述了特定材料的法拉第磁光效应的强度^[6]。

1.1 费尔德常数与光波波长的关系推导

由波动光学中的结论^[17]

其中，n_L，n_R分别为特征谱线中的左旋、右旋偏振光在材料中的折射率。

设介质中原子的轨道电子具有磁矩^[16]

式中L为轨道角动量。

在磁场B中，一个电子磁矩有势能E_p为^[7]

式中L_axis是电子轨道角动量的轴向分量。

当平面偏振光通过磁场B作用在折射率为n的样品介质上，光子使电子由基态激发到高能态。处于激发态的电子吸收光子的角动量，动能没有改变，而势能则增加ΔE_p,其大小为^[7]

上式中的正负号对应于左旋光和右旋光。

因为光子具有能量，故样品介质对光的折射率n是和ΔE_p函数。左旋光量子的能量E为

而对于左旋光量子，其折射率可表示为的函数，即

由于，因此可对上式进行泰勒展开，得到

同理，对右旋光量子有

忽略小量，将式（4）、式（5）代入式（2），得到

与式（1）比较得到

根据泰勒展开前柯西色散公式

所以

将式（9）代入式（7）中

1.2 费尔德常数的测量方法

在得到式(10)后，需要开始测定同一物质四个不同波长下的折射率n(λ)，然后拟合出柯西色散公式并求出色散系数，进而求得待测物质的费尔德常数^[8]。

如图1所示，汞灯光源发出的光以入射角i₁入射到三棱镜的一个光学表面，经三棱镜折射后从三棱镜的另一个光学表面射出并发生色散，入射光和出射光之间的夹角称为偏向角δ。当棱镜顶角A′一定时，偏向角δ的大小随入射角i1的变化而变化。可以证明对同一种波长的光谱线，当i₁=i₄时，δ最小，这时的偏向角称为最小偏向角δ_min^[9-12]。当i₁=i₄时，由几何关系得出 

由上式解出 

设棱镜材料对该波长的折射率为n，由折射定律sini₁=nsini₂可得

测得棱镜的顶角A′及最小偏向δ_min后，即可由式（11）计算棱镜材料对不同波长的光谱线的折射率n^[8-10]。

由实验所测得的不同特征谱线对应的折射角，可计算出偏转角δ_min的大小

如图2所示，分光计光源发出的光经平行光管后成为平行光；平行光经载物台上的光学元件反射、折射或衍射后改变传播方向；绕中心转轴转动望远镜，先后接收未经过被测光学元件改变方向和经过被测光学元件改变方向后的平行光，由读数圆盘读出两种情况下望远镜所在位置的角度，即可由式（12）计算最小偏向角σ_min，将计算结果代入式（8）计算出不同波长的谱线对应的折射率大小，利用此数据拟合出柯西色散公式中色散系数A、B的数值大小，绘制出n-λ图像，并将拟合结果代入式（10）中计算出样品的费尔德常数大小^[13]。

1.3 液体费尔德常数的测量

对于液体费尔德常数的测量，我们使用一种三棱镜状容器来盛装液体，其测量光路如图3所示。

图3以单色光入射为例，由于制作三棱镜杯子的材料折射率为n₁=1.515 ，而一般溶液的折射率n₂均小于此值，故考虑溶液折射率小于外侧玻璃的情况，当寻找到入射光在溶液中的最小偏向角时，光路如图3所示。由于此光路具有对称关系，可以得到入射角i_a=i_e，折射角i_b=i_d，此时

同理

而从图3中可以得到角度关系

因此

溶液费尔德常数的计算公式可表达为：

其中，σ_min即为此时的最小偏向角。将式（13）得到的不同波长对应的折射率进行拟合计算，可拟合出柯西色散公式中的常数A、B,进而求出费尔德常数的大小。

2 实验方案及数据处理分析

2.1 实验方案

（1） 利用十字叉丝对准白光（如图4（a）所示），读出此时入射光对应的角度θ₀，将三棱镜或盛装液体的三棱镜容器的顶角置于载物台中心附近，先在出射光一侧找到出射光的大致位置，然后转动镜筒，从望远镜中找到汞灯的四条特征谱线（其顺为黄、绿、蓝、紫或紫、蓝、绿、黄）^[15-17]

（2） 此时先顺时针调节载物台，使得特征谱线移动至最小偏向角的位置^[13]，然后转动目镜筒，使十字叉丝依次对准四条特征谱线（如图4（b）、(c)所示），并在读数圆盘上读出每种谱线对应的出射角θ′。

（3） 完成读数后，将载物台继续沿顺时针转过一定角度（5°以上），后将其沿逆时针转动至最小偏向角处，读出此时每种谱线对应的出射角θ″，上述顺时针和逆时针两次测量求均值方法的目的是减小最小偏向角的测量误差，并消除仪器的回空误差^[5]。

将θ′和θ″求平均值得到的记录在下方四个表格中，其中表1、表2、表3、表4分别记录汞灯发出的白光在经过重火石晶体、水、浓度5%的葡萄糖溶液、浓度10%的葡萄糖溶液后，四种特征谱线对应的出射角。

2.2 数据处理分析

将测得的值代入式（11）、式（12）中进行计算，求得每种波长对应的折射率大小，拟合出式（8）中A、B的大小，即可计算出费尔德常数值的大小。

其中对于三棱镜，

A=0.000222218，B=0.000153724

对于水，

A=0.000868629,B=0.000650003

对于浓度5%的葡萄糖溶液，

A=0.000841844,B=0.000628817

对于浓度10%的葡萄糖溶液，

A=0.000922218,B=0.000682626

取波长为四种光波长的平均值=473.2nm，并将,A,B代入式（10）中进行计算，得到三棱镜和水、浓度为5%、10%葡萄糖溶液的费尔德常数的测量值分别为

由于此分光计的测量精度为1′，因此测量出的费尔德常数实际精度为0.1′·T^-1·cm^-1。利用软件计算并绘制的不同波长的光在不同介质中的折射率，与其理论曲线进行对比，图5为三棱镜、纯水和浓度为5%,10%葡萄糖溶液中的柯西色散公式拟合结果。根据四种样品中的测量数据，可以利用Origin软件计算出测量结果的平均相对误差，在测量精度为0.1′·T^-1·cm^-1时，平均误差e_R<1.5%。对比钱小凌利用红光激光器精确测量费尔德常数得到的结果^[14]，本文提供的测量方法相对误差小于2%。然而，红光激光器精确测量费尔德常数的方法对环境温度、亮度等实验条件要求较高，因此不利于在一般实验室条件下展开。

3 结语

实验测量过程使用普通分光计，通过四条汞灯特征谱线拟合出柯西经验公式，测量出晶体和溶液费尔德常数，得到实验误差很小的结果，极大降低了实验成本，减少了实验周期，且自然光对本实验影响不大，故实验可在多种环境下开展。此实验中提供的方法不仅可以用于快速测定费尔德常数，也可在大学物理实验中进行拓展。

参考文献

[1]张庆,王小怀.掠射法测液体折射率时折射角与介质折射率的关系[J].韩山师范学院学报(社会科学版),2005(3):24-26. 

ZHANG Q, WANG X H. Relation between the medium refraction coefficient and refraction angle in measuring the liquid refraction coefficient with method of grazing incidence[J]. Journal of Hanshan Teachers college (Social Science Edition), 2005(3):24-26. (in Chinese)

[2]靳伟,马红,孙宇航,等.基于Matlab的棱镜折射率的测定实验的数据处理[J].西安邮电学院学报,2011,16(S2):107-110. 

JIN W, MA H, SUN Y H, et al. Data processing of prism refractive index measurement experiment based on Matlab[J]. Journal of Xian Institute of Posts and Telecommunications, 2011, 16(S2): 107-110. (in Chinese)

[3]张晓兰,王鑫.分光计调节与使用实验中的实际问题[J].黑龙江科技信息,2012(10):194.

ZHANG X L, WANG X. Practical problems in experiments of spectrometer regulation and use[J]. Journal of Heilongjiang Science and Technology Information, 2012(10): 194. (in Chinese)

[4]温伟峰,李建中,张登洪.全光纤电流互感器控制电路设计[J].电子技术应用,2014,40(2):81-84.

WEN W F, LI J Z, ZHANG D H. Control circuit design of all-fiber current transformer[J]. Application of Electronic Technology, 2014, 40(2): 81-84. (in Chinese)

[5]郭永康，朱建华.光学[M].3版.北京：高等教育出版社，2017.

[6]杨佳苗. 激光差动共焦干涉元件参数测量方法与技术研究[D].北京理工大学,2015.

[7]杨福家.原子物理学[M].4版.北京：高等教育出版社，2008.

[8]彭金松,李根生,董一萍.三棱镜折射率的测量研究[J].科技创新导报,2017,14(13):26-27+29.

PENG J S, LI G S, DONG Y P. Measurement of refractive index of prism[J]. Journal of Science and Technology Innovation, 2017,14(13): 26-27+29. (in Chinese)

[9]杨文锦,张浩,景银兰,等.基于布儒斯特定律测折射率的实验仪器设计[J].河北农机,2019(7):55-56.

YANG W J, ZHANG H, JING Y L, et al. Experimental instrument design for refractive index measurement based on Brewsters law[J]. Hebei Agricultural Machinery, 2019(7): 55-56. (in Chinese)

[10]孟赟,闫宝罗,樊代和,等.三棱镜折射率的精确测量[J].激光与光电子学进展,2017,54(12):191-197. 

MENG Y, YAN B L, FAN D H, et al. Accurate measurement of refractive index of prism[J]. Advances in Laser and optoelectronics, 2017, 54(12): 191-197. (in Chinese)

[11]陈杰,刘国营,李文胜,等.用分光计测量三棱镜折射率实验中的光谱弯曲现象[J].大学物理,2013,32(12):21-23+36.

CHEN J, LIU G Y, LI W S, et al. Spectral bending in Prism refractive index experiments using a spectrometer[J]. University Physics, 2013, 32(12): 21-23+36. (in Chinese)

[12]洪丽,符运良,卞秀芬,等.分光计测定三棱镜折射率方法的改进[J].海南师范大学学报(自然科学版),2010,23(1):41-43.

HONG L, FU Y L, BIAN X F, et al. Improvement of spectrophotometric method for measuring refractive index of prism[J]. Journal of Hainan Normal University (Natural Science Edition), 2010, 23(1): 41-43. (in Chinese)

[13]单永明,牛连平.棱镜折射率测量方法的比较及改进[J].科技资讯,2010(4):250-251.

SHAN Y M, NIU L P. Comparison and improvement of prism refractive index measurement methods[J]. Science and Technology Information, 2010(4): 250-251. (in Chinese)

[14]钱小陵.用激光束精密测量费尔德常数[J].量子电子学,1996(5):463.

QIAN X L. Precision measurement of Field constant by laser beam[J]. Quantum Electronics, 1996(5): 463. (in Chinese)

[15]杨慧,菅在和.最小偏向角测定折射率实验改进[J].太原师范学院学报(自然科学版),2018,17(3):68-71.

YANG H, JIAN Z H. Experimental improvement on the measurement of refractive index with minimum deviation angle[J]. Journal of Taiyuan Normal University (Natural Science Edition) ,2018,17(03):68-71. (in Chinese)

[16]罗乐,王刚志.调整分光计的探讨[J].实验室研究与探索,2000(2):107-108.

LUO L, WANG Z G. Discussion on adjusting spectrometer[J]. Laboratory Research and Exploration, 2000(2): 107-108. (in Chinese)

[17]王小怀.分光计调节和使用中的困难及解决措施[J].实验室研究与探索,2007(2):35-37. 

WANG X H. Difficulties in adjusting and using spectrometer and its solution[J]. Laboratory Research and Exploration, 2007(2): 35-37. (in Chinese)

基金项目:  四川大学大学生创新创业训练计划项目基金(C2020108140)。

通讯作者:  梁小冲，男，四川大学实验师，主要从事大学物理实验研究，[e-mail]。

引文格式:  叶昱成，梁小冲，蒋昕. 基于柯西色散公式测量费尔德常数的方法[J]. 物理与工程，2021，31（2）：117-121,127.

Cite this article: YE Y C, LIANG X C, JIANG X. Measuring method of Verdet constant based on Cauchy dispersion formula[J]. Physics and Engineering, 2021， 31（2）：117-121,127. (in Chinese)

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