一道很有代表性的面积问题（18年12月14日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第707天给出奥数题讲解。

今天的题目是面积问题，

解题所用知识不超过小学5年级。

题目（4星难度）：

如图，长方形ABCD被分割为6个部分，分别是1个长方形，2个等腰直角三角形和3个梯形。除中间红色区域长方形外，其余5个区域的面积都相同。E是MN的中点，中间红色区域长方形EFGH的面积是12平方厘米，请问长方形ABCD的面积是多少？

讲解思路：

这道题属于面积问题，

已知条件和要求的都是长方形，

因此两个长方形的边长关系是关键。

由于5个区域面积相同，

自然想到用割补法做辅助线，

最后得到二者的边长关系。

步骤1：

先思考第一个问题，

辅助线怎么做？

由于E是MN的中点，

而两个黄色三角形是等腰直角，

为充分利用这些关系，

辅助线的做法应该是：

延长HE与AB交于I，

延长FE与AD交于H，

过N做NL垂直于EF，垂足为L,

过M做MJ垂直于EH，垂足为J,

过P做PK垂直于EH，垂足为K,

如下图所示:

步骤2：

再思考第二个问题，

AD是AH的几倍？

首先由于两个黄色三角形面积相等，

故AM=DP。

由于E是MN的中点，

且三角形AMN是等腰直角三角形，

要使三角形AMN与梯形MEHP面积相等，

必须有正方形AHEI和MJPK面积相等，

故MP=AH。

另一方面AM=2AH，

因此AD=5AH。

步骤3：

再思考第三个问题，

AB是AH的几倍？

要使三角形AMN与梯形NBFE面积相等，

即长方形NBFL面积是AIEH的1.5倍，

故BN=1.5AH，

因此AB=AN+BN=3.5AH。

步骤4：

综合上述几个问题，

考虑原问题的答案。

对红色区域小长方形EFGH来说，

长EH=3AH,

高EF=2.5AH，

因此EFGH的面积是7.5*AH*AH，

从步骤1和2的结果可以计算出，

长方形ABCD的面积是17.5*AH*AH，

由于EFGH的面积是12平方厘米，

所以ABCD的面积是

12*17.5/7.5=28平方厘米。

思考题（4星难度）

小明发现4、9、16的约数个数都是奇数个，小明就猜想，如果某正整数n的约数个数是奇数个，则n就一定是完全平方数。请问小明的猜想对吗?

微信回复“20181214”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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