学会这道难题，数列和平均数将不再是问题（19年1月2日）

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第725天给出奥数题讲解。

今天的题目是逻辑推理问题，

本题所用知识不超过小学5年级。

题目（5星难度）

小明和小红一起分到了一个新的班级，

班上同学的学号是1,2,3…连续排列。

小明问小红：咱们班有多少名同学？

小红说：我的学号是1。

小明又问：你还知道什么呢？

小红说：你的学号是18，小李的是19。

小明说：可我还是不知道总人数。

小红说：除你和我之外，其余同学的学号平均数是整数。

小明恍然大悟：我知道学生数了。

请问班上有多少名学生？

讲解思路：

这道题虽然是逻辑推理，

但应用数列和数论的知识更多。

为解题方便假设有n名学生，

逐渐列出n需要满足的条件，

然后根据平均数是整数求解。

步骤1：

先思考第一个问题，

小李学号是19能说明什么？

这个问题比较简单，

由于学号是按顺序排列的，

有一个同学的学号是19了，

因此班上学生数n不小于19。

步骤2：

再思考第二个问题，

除小红和小明外，

其余同学的学号平均数是多少？

共有n名同学，

学号数的总和是n(n+1)/2。

小红和小明的学号数和是1+18=19，

故其余同学的学号和是n(n+1)/2-19，

除小红和小明外有n-2名同学，

因此其余同学的学号平均数是：

[n(n+1)/2-19]/(n-2)

=[n(n+1)-38]/[2(n-2)]。

步骤3：

综合上述几个问题，

考虑原问题的答案。

由于其余同学的学号平均数是整数，

结合步骤2的结论知道，

n(n+1)-38一定是n-2的整数倍，

而n(n+1)-38

=n(n-2)+3n-38

=n(n-2)+3(n-2)-32,

因此32一定是n-2的整数倍，

从步骤1中知道n不小于19，

故n-2不小于17。

则n-2只能是32，即n=34，

代入步骤2中检查可得，

其余同学的学号平均数是18，

满足给定的条件。

所以班上共有34名学生。

注:由于步骤2中是除以2(n-2)，

而推导过程只考虑n-2，

中间差了一个2，

因此一定要代入步骤2中检查。

思考题（4星难度）：

原题目中如果去掉小李学号是19的条件，其余条件不变。小明还能唯一确定班上的学生数么？

微信回复“20190102”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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