华应龙 刘志强 ‖ ​小数学，大道理

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战“疫”中的数学阅读辅导（54）

华应龙

（北京第二实验小学）

世界著名的数学家冯·诺伊曼说过：“微积分是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也是不会过分的。”那微积分是什么？我们小学生可以认识它吗？

今天，我们团队的刘志强老师为大家推荐一本书——《简单微积分》，相信这本书可以让你感受到数学的奥秘。

刘志强老师，是“华应龙名师工作室”成员，江苏省无锡市扬名中心小学教科室主任，带领学校老师参与省、市级课题研究，坚持实践有“理”有“趣”的数学课堂。所撰写的多篇论文在《江苏教育》《小学数学教育》等专业杂志发表。

小数学，大道理

——《简单微积分》阅读推荐

刘志强

( 江苏省无锡市扬名中心小学 )

同学们，如果你去问你的爸爸妈妈，他们是什么时候学的微积分？大概他们会说那是高中或者大学的课程，也许你爸妈还会说：“你一个小孩问这干吗？”

真的，在学校课本里，微积分起码要高中才会开设。但，如果你是个五年级或者六年级的小学生，你真的可以很确定地跟你爸妈说：“我们小学里就玩微积分了啊。”

你大概会说：“等一下，微积分是啥？我们啥时候玩过？”

我还真不好很快回答你什么是微积分，不过，你肯定玩过。

先来讲个故事吧。新冠疫情期间，好多爸爸妈妈跟着小朋友一起拿起了小学课本。有一天，我的一个硕士朋友告诉我说：“我的高等数学都忘光了，这段时间辅导小孩，看到‘圆的面积’，忽然发现，这可不就是微积分么？”我对他说：“你还可以往前翻，找一找还有没有用到微积分的内容？”

孩子们，我们先来看看，是什么内容让硕士生有恍然大悟的感觉。还记得圆面积公式的推导过程吗？我们是把圆平均分成了很多个小的扇形，然后把这些扇形拼成了一个近似的长方形。就像这样：

如果我们平均分成的扇形越来越细，右边这个长方形的长就会无限接近直线段，那么拼成的图形也会越来越接近长方形。这种分割成无数小块再求出它们面积和的方法，有没有让你感觉到一种“累积”的意思？这，就是微积分的一种基本思想。

这也是我想推荐给你的，这本《简单微积分》封面上的故事。

写这本书的人叫神永正博，是日本东北大学的教授，这位教授很喜欢用一些通俗的例子来讲解数学知识的道理。比如同样是求面积，作者还举了一个大家熟悉的例子——用方格测量树叶的面积。

无独有偶，我那个好奇的硕士朋友也跟我提出了这个图形，而且很兴奋地说：“当时不知道，现在回过来看，这个微分的思想太明显了！”同学们，回忆一下，当时我们是怎么用方格测量树叶面积的。

我们的做法是这样的：把不满一格的面积按照半格来计算，所以，22个整格加上34个不满整格，树叶面积大概是22+34÷2=39（平方厘米）。很多同学会提出这样的问题：这些不满一格的部分，也太“大概”了，如果某一块特别小，按照半格来算几乎就是白送了0.5平方厘米！

有没有办法量得更加精确一点？

有！我们如果用边长1毫米的方格图来数这个树叶的面积，那么这些落在边缘上的不满整格的部分，误差就只有0.5平方毫米以内了。想象一下，如果用更小的单位作为方格来数，得到的结果是不是会越来越接近它真实的面积？怎么样，是不是又有一种“分得越细，量得越准”的感觉？这就是微积分里面微分的思想。

沿着这个思路想下去，人们就造出了电视机、电脑和手机上的液晶显示器。

是不是没想到数方格居然数出了高科技？书里还有很多有趣的例子，继续看下去，你会发现，不光是平面图形的面积，还有立体图形的体积，你所熟悉的很多知识、很多数量关系都会在书里通过“分”和“积”的方法，展现出奇妙的境界来。

怎么样，是不是很想立刻看一看大学生都学些什么？

再透露一个作者的观点，因为我想可能也是同学们喜欢的问题：数学家是擅长数学的人，他们也很擅长计算吗？

不，不一定是这样的！

天才数学家亨利•庞加莱也经常犯错误，据说他的论文经常计算犯错。但是，庞加莱思考的方向在本质上是准确无误的。只要思考的方向正确，即使稍微出点差错，对整体而言也并不是致命的。

我把庞加莱先生的故事告诉同学们，不是说“同学们，计算正确不重要”，而是说“思考的方向正确”更重要。所以，这本书的作者就是希望你“读”，希望你按照正确的方向去“思考”，掌握思考的要领。

同学们，我期待着，在这本书的启发下，你也能发现简单知识背后的大道理。

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